层流边界层的流动与换热

高等传热学内容第一章导热理论和导热微分方程第二章稳态导热第三章非稳态导热第四章凝固和熔化时的导热第五章导热问题的数值解第六章对流换热基本方程第七章层流边界层的流动与换热第八章槽道内层流流动与换热第九章湍流流动与换热第十章自然对流第十一章热辐射基础第十二章辐射换热计算第十三章复合换热第七章层流边界层的流动与换热上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个别的问题采用经典方法得到了分析解。本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法——相似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积分方程的方法进行介绍。7-1对流换热中的根本问题工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1所示，流体以均匀的速度u∞和温度T∞流过温度为Tc的平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需要了解以下两个问题：(1)介质中平板的受力情况。(2)平板与介质的换热情况。对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)，也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率，这是传热学的根本问题。7-1对流换热中的根本问题图7-1沿平板流动的边界层速度和温度分别7-1对流换热中的根本问题可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中的基本方程得到：0uvxy22221()uupuuuvxyxxy22221()vvpvvuvxyxxy2222()TTTTuvaxyxy边界条件为：壁面处u=0，非滑移界面v=0，无渗透表面T=Tc，常壁温远离壁面处u＝U∞，均匀流v=0，均匀流T=T∞，均匀温度求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以得到壁面处的热流密度。7-1对流换热中的根本问题上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904年，普朗特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程间题得到了有效的解决。7-2-1速度边界层通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，此薄层称为速度边界层，如图7-2所示。7-2边界层分析7-2边界层分析图7-2外掠平板的速度边界层通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99％处，即u=0.99U，U表示主流速度。在y＝δ以外区域，粘性的影响由于速度梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理想化概念。边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L，即占δL。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分析中不难得到此结论。此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。7-2边界层分析7-2-2温度边界层与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3所示，通常规定其边界在垂直于流动方向流体温差t∞－t等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的热物性。7-2边界层分析7-2边界层分析图7-3外掠平板的温度边界层7-2-3边界层微分方程组在主流区(7-2-1)用δ表示速度u由壁面处的u=0变化到接近主流速度U∞的距离的数量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系：x～L，y～δ，u～U∞(7-2-2)在包含边界层的δ×L区域，考虑连续性方程(7-2-3)可知(7-2-4)7-2边界层分析,0,,vppttu=U0uvxyUVLUVL考虑边界层内x方向的动量方程在上式中，惯性力项均为，不能忽略任一项。但在边界层区域，δL，对于粘性力项，与相比，可以忽略不计，于是x方向的动量方程即式(7-l-2)简化为(7-2-5)7-2边界层分析22221()vvpvvuvxyxxy,UUUvL,,UUPvvLL2UL22uy22ux221uupuuvxyxy类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程(7-2-6)通过数量级分析可以得到(7-2-7)因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6)，但它对边界层内的压力分析提供了帮助。也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l所示的边界层内任一点的压力的全微分(7-2-8)除以dx，得到(7-2-9)7-2边界层分析221vvpvuvxyyy0pyppdpdxdyxydpppdydxxydx从动量力程的数量级分析．考虑压力项与摩擦项平衡，如方程(7-2-5)有(7-2-10)类似地，由方程(7-2-6)得(7-2-11)现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级(7-2-12)比较方程(7-2-7)右侧两项，得到7-2边界层分析2Upx2pvy2()()()1pxdydxvpxULL=dppdxx与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处，边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即(7-2-14)将方程(7-2-14)代入方程(7-2-5)得(7-2-15)类似地分析可以得到边界层能量方程(7-2-16)式(7-l-1)、(7-2-15)和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、v、t三个未知量，可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。7-2边界层分析dppdxx221dpuuuuvxydxy22tttuvaxyydpdx7-2边界层分析7-2-4边界层流动与传热分析流动摩擦阻力(7-2-17)对于具有均匀压力的自由流，，根据边界层的动量方程(7-2-15)有惯性力项～摩擦力项(7-2-18)式(7-2-18)要求(7-2-19)即(7-2-20)式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。U0dpdx22UUvL12()vLU12ReLL7-2边界层分析式(7-2-20)的意义在于，它指出了只有的情形，边界层理论才有效。例如，在边界层的前缘，不会远小于1，故边界层理论不适用。式(7-2-17)可改写为(7-2-21)无量纲摩擦系数取决于雷诺数，即(7-2-22)分析基于热边界层厚度的换热方程，有(7-2-23)式中，表示边界层的温度变化。12Re1L12ReL11222ReReLLUUL121()2CU121~ReLC()~~ttthtwttt7-2边界层分析考虑边界层能量方程各项的数量级：对流项～导热项(7-2-24)若热边界层厚度远大于速度边界层厚度，δtδ，则速度边界层外的速度u等于主流速度U∞，得到该区域的速度。将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即(7-2-25)进一步可以得到(7-2-26)2,~tttttuvaL~vUL2~ttUtLa121212~~Pr~RetLPeL7-2边界层分析其中是贝克来数。比较式(7-2-20)和式(7-2-26)可以发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特数，即(7-2-27)低普朗特数(Pr1)下的对流换热表面传热系数可以表示为，Pr1(7-2-28)或表示为努塞尔数的形式：(7-2-29)若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度,则温度边界层内的速度可认为(7-2-30)LPeULa12~Prt1212~PrReLhL1212~PrReLNu~tuU7-2边界层分析将式(7-2-29)代入式(7-2-24)，得到(7-2-31)与式(7-2-20)比较，可知(7-2-32)类似地可以得到大Pr数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变化规律：，Pr1(7-2-33)，Pr1(7-2-34)在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值[见式(7-2-20)]。1312~PrRetLL13~Pr1t1312~PrReLhL1312~PrReLNu7-3层流边界层流动和换热的相似解7-3-1外掠平板层流边界层流动和换热的相似解1.布劳修斯解上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常微分方程。1908年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4所示，边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u=U∞。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围是相同的,即速度分布被伸展。7-2边界层分析图7-4平壁上的速度边界层7-3层流边界层流动和换热的相似解引入无量纲速度和相似变量η：(7-3-1)相似变量η与坐标y成正比，比例系数与x有关。令(7-3-2)可见，边界层内不同x处与η的关系是相同的，对于η的无量纲速度分布亦是相同的。将速度用流函数φ表示：(7-3-3)则(7-3-4)uU()uU12Re()xUyyyxxvxuU,uvyx1uUUy7-3层流边界层流动和换热的相似解引入前面定义的相似变量η，得到(7-3-5)令，称无量纲流函数，则有了(7-3-6)考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程(7-1-1)和动量方程(7-2-14)：(1)(2)()uUUvxfUvx12()()Uvxf0uvxy22uvuuvvxyy7-3层流边界层流动和换热的相似解对应的边界条件是y=0,u=v=0(7-3-7)y→∞,u→U∞(7-3-8)