22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)叫做x的二次函数.知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2.一次函数的定义是什么？形如y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0)的函数叫做x的一次函数。3.二次函数的定义是什么？回顾知识:二、正比例函数y=kx（k≠0）其图象是什么。三、一次函数y=kx+b（k≠0）其图象又是什么。一条经过原点的直线。是一条直线。一、用什么方法画函数的图象？描点法列表、描点、连线导入二次函数的图象是什么形状呢？结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．=x2的图象吗?1.列表。以坐标原点（0,0）为中心，在其左右两边均匀地2至3个x的值，并计算相应的y值,完成下表：x…-3-2-10123…y=x2……9411049从最简单的二次函数y=x2开始研究。xy0-4-3-2-11234108642-12.描点根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）y=x23.连线（平滑曲线连接，两端无限延伸）二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2，一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c。12345x12345678910yo-1-2-3-4-5实际上,二次函数的图象都是抛物线。，2xy二次函数y=x2的图象是轴对称图形，称图形，12345x12345678910yo-1-2-3-4-5抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线的顶点它是抛物线的最低点。．2xy2xy2xy对称轴是y轴2xy这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？抛物线与对称轴有交点吗？实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．在对称轴的左侧时,y随x的增大而减小.在对称轴的右侧时,y随x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),当x=0时,函数y有最小值,最小值是0.12345x12345678910yo-1-2-3-4-52xy二次函数y=x2的图形和性质：图像：1.开口：2.顶点：3.对称轴：性质：1.增减性：2.最值：向上原点（0,0）——最低点y轴y轴左侧，y随x增大而减小y轴右侧，y随x增大而增大x=0时，y最小值=0222,21xyxy例1在同一直角坐标系中，画出函数的图形。解：分别填表，再画出它们的图象，如图－222464－48212yx22yx函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？－222464－48－222464－48相同点：开口：向上，顶点：原点（0,0）——最低点对称轴：y轴增减性：y轴左侧，y随x增大而减小y轴右侧，y随x增大而增大不同点：a值越大，抛物线的开口越小．探究画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．2222,21,xyxyxyx···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－22－2－4－64－4－8你画出的图象与图中相同吗？请找出相同点与不同点：－22－2－4－64－4－8相同点：开口：向下，顶点：原点（0,0）——最高点对称轴：y轴增减性：y轴左侧，y随x增大而增大y轴右侧，y随x增大而减小不同点：a值越大，抛物线的开口越小．抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.xyoxyo函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:y=x2y=-x2xy0yx0１.顶点坐标与对称轴２.开口方向３.增减性与最值y＝ax2a0a0图象二次函数y=ax2的性质开口方向对称轴顶点最值增减性开口向上开口向下y轴（即直线x＝0）原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0|a|越大,抛物线的开口越小;x0,y随着x的增大而减小.x0,y随着x的增大而增大.x0,y随着x的增大而增大.x0,y着x的增大而减小.8642-2-4-6-8-10-5510y=-x2xyo-810y=x2y=ax2与y=-ax2关于x轴对称,也关于原点对称。22xy232xy1、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方（除顶点外）。（2）抛物线在x轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x0时，y0.232xy（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小02、函数y=2x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；当x=0时，有最_____值。3、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；当x=___时，有最___值。4.已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。m2+m解:依题意有:m+10①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2,5.已知二次函数y=(m2-1)xm2-2m+2，求:①求m的值；②m满足什么条件时，在对称轴左侧y随x的增大而减小？③m满足什么条件时，该函数有最大值？6.已知二次函数的图形经过点(-2，-3)。(1)求a的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.2axy7.下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为__________________.(4),(2),(3),(1)|a|越大，抛物线开口越小2411xy）（2212xy）（231-3xy）（23-4xy）（8.已知点A(-1,y1),B(-2,y2),C(-,y3),在函数的图像上，则y1,y2,y3的大小关系是______.比较函数值大小的方法：方法一：代入比较法方法二：增减性比较法开口向上，x距离对称轴越远函数值越大开口向下，x距离对称轴越近函数值越大241xy29.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),在抛物线,则y1，y2，y3的大小关系是________.10.已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4这个范围内，求函数的最值。232xy11.若二次函数y=-ax2,当x=2时，y=，则当x=-2时，y的值是____.2112.y=kx2与y=kx－2(k≠0)在同一坐标系中，可能是（）.ABCDB13.如图,已知y=-2x+3的图像与y=x2的图像交于A,B两点，且与x轴、y轴分别交于D,C两点，O为坐标原点。（1）求点A,B，C,D的坐标；（2）求S△AOB的值。小结二次函数的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、最值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。