微课-等比数列的前n项和

等比数列的前n项和商丘市第二高级中学张紫欣国王赏麦的故事相传古印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨。西萨对国王说：“尊敬的陛下，您看这棋盘里共有64个格子。”“请您在第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推…每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子。”由故事可知：西萨所要的麦粒数为这实际上是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题.【思考】对于Sn＝1＋2＋22＋…＋2n如何求和呢？842164S……636222把该数列的前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n①两边同乘以公比2得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1②这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有什么结果？【提示】两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同.若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn＝2n＋1－1.思考：（1）为什么②式选择乘以2，而不是别的数字？乘以2有什么样的好处？（2）从上述问题，你发现了什么？11212111nnnqaqaqaqaaSnnqaqaqaqaqa11131211①②错位相减nqS对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按上面的方法处理会怎样呢？①—②，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(（q≠1）qqaSnn111等比数列前n项和公式的推导思考：那q=1怎么办呢？提示：q=1说明数列有什么特点？（q≠1）qqaSnn1111.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；1q1q)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn2.推导公式的方法：错位相减法。注意：等比数列的前n项和公式s64=1+2+22+23+24+……+263西萨所要的麦粒数为国王能满足西萨的请求吗所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了他的要求。人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的小麦的总和！假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量大约7000亿吨。如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在太阳和地球之间打个来回。远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?吴敬所著的《九章算法比类大全》中载有如下这样一首“数学诗”：【例一】【例二】求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.【思路探究】(1)本题是否可以用错位相减法求和？(2)x的取值不同，对解题有影响吗？要不要对x进行讨论？【自主解答】(1)当x＝0时，Sn＝0.(2)当x＝1时，Sn＝nn＋12.(3)当x≠0且x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，②①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝x1－xn1－x－nxn＋1，∴Sn＝x1－x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，∴Sn＝nn＋12x＝1，0x＝0，x1－x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.1．一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．3．在写Sn和qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn.在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出了工资标准：A公司B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.大学生王明被A、B两家公司同时录取，而王明只想选择一家连续工作10年，经过一番思考，他选择了A公司，你知道为什么吗？【解】A公司B公司第一年月工资为1500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元，以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.第n年月工资为an第n年月工资为bn首项为1500,公差为230的等差数列首项为2000，公比为1＋5%的等比数列an＝230n＋1270an＝2000(1＋5%)n－1王明的选择过程S10＝12(a1＋a2＋…＋a10)＝12×[10×1500＋10×10－12×230]＝304200S10＝12(b1＋b2＋…＋b10)＝12×20001－1.05101－1.05≈301869因此，王明选择A公司.等比数列前n项和的推导方法求等比数列前n项和，也可以用以下几种方法．令首项为a1，公比为q(q≠1)．(1)乘法运算公式法∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，∴Sn＝a11－qn1－q.(2)方程法∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，∴(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q.(3)等比性质法∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q，∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q，于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.