离散时间信号与系统

第一章离散时间信号与系统2本章目录离散时间信号——序列离散时间系统线性常系数差分方程连续时间信号的取样Matlab实现31.1引言信号信号与信息信号的表示信号的分类系统系统的作用系统的分类系统的描述与分析4信号与信息信号是信息的表现形式信息则是信号的具体内容交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。信号是传递信息的函数数学上表示成一个或多个独立变量的函数一维变量：时间或其它参量语音信号表示为一个时间变量的函数静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数5信号的分类连续时间信号：连续时间域内的信号幅度可以是连续数值，或是离散数值离散时间信号：离散时间点上的信号幅度同样可以是连续数值，或是离散数值特殊形式：模拟信号和数字信号模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际中与连续时间信号常常通用。数字信号：时间和幅度都离散化的信号。6本章主要内容离散时间信号的基本概念离散时间系统的定义及其性质线性常系数差分方程及其求解方法理想取样：连续时间信号数字处理的概念和基本方法Matlab实现71.2离散时间信号——序列序列的定义及表示序列的基本运算几种常用序列序列的周期性用单位脉冲序列表示任意序列81.2.1序列的定义及表示序列的定义数字序列：离散时间信号一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值序列的表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞(1.1)图1.1图形表示用单位脉冲序列表示9序列表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均匀间隔的离散时间T指间隔的离散时间n为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)的值是零10图1.1序列的图形表示111.2.2序列的基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列的能量卷积和12基本运算—序列的和设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)(1.2)表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。13例：序列的和例1.1设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的和x(n)+y(n)。2,0()1,0nnynnn＜≥解：12,13()(),1221,0nnnxnynnnn＜≥14例：序列求和图示12,13()(),1221,0nnnxnynnnn＜≥15基本运算—序列的积设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)•y(n)(1.3)表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。16例：序列的积例1.1设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的和x(n)•y(n)。2,0()1,0nnynnn＜≥解：10,11()(),12(1)2,0nnxnynnnn＜≥17例：序列求积图示10,11()(),12(1)2,0nnxnynnnn＜≥x(n)18基本运算—序列的移位设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)(1.4)表示将序列x(n)进行移位。m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。19例：序列的移位例1.1设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的移位x(n+1)。解：22,11(1)0,11nnxnn≥＜20例：序列移位图示x(n)22,11(1)0,11nnxnn≥＜21基本运算—序列的标乘设序列为x(n)，a为常数(a≠0)，则序列y(n)=ax(n)(1.5)表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。22例：序列的标乘例1.1设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的标乘4x(n)。解：12,14()0,1nnxnn≥＜23基本运算—序列的翻转设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)(1.6)表示以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。24例：序列的翻转例1.2设序列12,1()0,1nnxnn≥＜计算序列的翻转x(-n)。解：12,1()0,1nnxnn≤＞25基本运算—序列的累加设序列为x(n)，则序列(1.7)定义为对x(n)的累加，表示将n以前的所有x(n)值求和。nkkxny)()(26基本运算—序列的差分前向差分：将序列先进行左移，再相减Δx(n)=x(n+1)-x(n)(1.8)后向差分：将序列先进行右移，再相减▽x(n)=x(n)-x(n-1)(1.9)由此，容易得出▽x(n)=Δx(n-1)27多阶差分运算二阶前向差分)()1(2)2()()1()()]([2nxnxnxnxnxnxnx)2()1(2)()1()()()]([2nxnxnxnxnxnxnx二阶后向差分单位延迟算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-Dk阶后向差分(按二项式定理展开)二阶后向差分28基本运算—时间尺度(比例)变换设序列为x(n)，m为正整数，则序列抽取序列y(n)=x(mn)(1.10)(/),,0,1,2,()0,xnmnmllznn其它x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。插值序列(1.11)29抽取序列x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按比例增加到m倍以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留x(0)30插值序列x(n/m)：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点保留x(0)31基本运算—序列的能量设序列为x(n)，则序列(1.12)定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和；若为复序列，取模值后再求平方和。2|()|nExn32基本运算—序列的卷积和设序列为x(n)和z(n)，则序列(1.13)定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。()()()()()mynxnznxmznm33卷积和计算的四个步骤翻转：x(m)，z(m)→z(-m)移位：z(-m)→z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位相乘：z(n-m)•x(m)（m值相同）相加：y(n)=∑{z(n-m)•x(m)}34对应点相乘！例：卷积和计算例1.3设序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：n＜0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。0≤n≤4时，对应点相乘！35例：卷积和计算4＜n≤6时，4＜n≤6时，n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。361.2.3几种常用序列单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列37单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零δ(n)类似于δ(t)0,00,1)(nnnmnmnmn0,1)(δ(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零38单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义，u(n)在n=0时为u(0)=11,0()0,0nunn≥＜1,()0,nmunmnm≥＜δ(n)和u(n)的关系：δ(n)=u(n)-u(n-1)39单位矩形序列N为矩形序列的长度1,01()0,NnNRn≤≤其它和u(n)、δ(n)的关系：40实指数序列a为实数()()nxnaun当|a|＜1时序列收敛当|a|＞1时序列发散41正弦序列A为幅度ω为数字域角频率φ为起始相位x(n)由x(t)=sinΩt取样得到x(n)=Asin(ωn+φ)归一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω与Ω线性关系)42复指数序列ω为数字域角频率用实部与虚部表示用极坐标表示()e(cosjsin)ecosejsinnnnxnnnnnjarg[()]j()()eeexnnnxnxnσ=0时，序列具有以2π为周期的周期性431.2.4序列的周期性对于序列x(n)，如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足x(n)=x(n+N)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)则有x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)若满足条件ωN=2kπ，则x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)44周期性讨论N、k为整数，k的取值满足条件，且保证N最小正整数。其周期为2π/ω为整数时，取k=1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2π/ω。例1.4序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。45周期性讨论2π/ω为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5序列，2π/ω=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。2π/ω为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。例序列指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。461.2.5用单位脉冲序列表示任意序列任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)的卷积和，式中例1.6471.3离散时间系统离散时间系统的定义及表示线性时不变系统单位脉冲响应与卷积和线性时不变系统的性质因果系统和稳定系统481.3.1离散时间系统的定义及表示离散时间系统定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一变换或运算。以T[·]表示这种运算y(n)=T[x(n)]对变换T[·]加以不同的约束条件，所定义的系统就具有不同的特性和功能。线性时不变系统:最重要、最常用，可表征许多物理过程。491.3.2线性时不变系统线性系统满足叠加原理叠加原理包含可加性和齐次性两方面性质时不变系统系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关运算关系在整个运算过程中不随时间而变化线性时不变系统既满足叠加原理，又满足时不变性的系统50线性系统设系统的输入序列与输出分别为可加性:如果系统的输入之和与输出之和满足齐次性(或比例性):设a为常数，系统的输入增大a倍，输出也增大a倍线性系统与非线性系统51例：证明一个线性系统注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且信号及比例常数都可以是复数。例1.7试分析下列系统的线性(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。不满足叠加原理，非线性系统满足叠加原理，线性系统52时不变系统输入序列x(n)移动任意m位后，输出序列y(n)也移动m位，数值却保持不变。m为任意常整数时不变系统也称为移不变系统53例：证明一个时不变系统例1.7试分析下列系统的时不变性(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。二者相等，具有时不变性时变系统541.3.3单位脉冲响应与卷积和单位取样响应(单位脉冲响应)h(n)=T[δ(n)]线性时不变系统输入为δ(n)时对应的输出线性时不变系统都可以用它的单位脉冲响应h(n)来表征已知h(n)可得到线性时不变系统对任意输入的输出55推导卷积和表达式δ(n)表示x(n)系统输出叠加原理时不变性卷积和表达式:表示线性时不变系统的输出等于输入序列和单位脉冲响应的卷积。561.3.4线性时不变系统的性质交换律结合律分配律可以推广到多个系统的情况，由卷积和的定义可以很容易加以证明。571