人教课标版高中数学选修2-1：《抛物线的简单几何性质(第2课时)》教案-新版

2.4.2抛物线的简单几何性质（第2课时）一、教学目标（一）学习目标1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.（二）学习重点抛物线的几何性质及其运用.（三）学习难点抛物线几何性质的运用.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与抛物线的位置关系：以22ypx为例，解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y（或者消去x），得出关于x的一个方程，20AxBxC.当A0时，直线与抛物线有1个交点；当A0时，若0，则直线与抛物线有2个公共点；若0，则直线与抛物线有1个公共点，即切点；若0，则直线与抛物线有0个公共点，即相离.2.预习自测下列正确的命题个数是（）（1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.（3）直线210xy与抛物线2yx的位置关系是相交.（4）过焦点(,0)2pF的直线与抛物线22ypx交于,AB两点，则||AB的最小值为2p.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】当直线与抛物线对称轴平行时直线与抛物线相交，而且只有一点，故（1）错误；联立210xy与2yx知0，故（3）错误.点拨：注意直线与抛物线只有一个交点，两者关系可能为相交与相切.（二）课堂设计1.知识回顾：（1）抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF2.新知讲解我们在学习了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，今天来学习直线与抛物线的位置关系.通过这节课的学习，我们比较一下直线与抛物线的位置关系与直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些异同点.探究一：直线与抛物线●活动①师生互动，探究关系先请学生回顾直线与圆、直线与椭圆的位置关系有哪些？（形状）那么，直线与抛物线的位置关系有哪些呢？注意：有一个公共点不一定相切.问题：针对每一种位置关系，我们如何用“数”加以证明呢？【设计意图】通过直线与椭圆位置关系的回顾，培养学生类比学习能力.在图象认识的基础上，逐渐由“形”上升到“数”.例1.已知直线l过(0,1)A，抛物线方程为24yx.（1）若直线与抛物线没有交点，求直线l的斜率k的取值范围；（2）若直线与抛物线有两个交点，求直线l的斜率k的取值范围.【知识点】直线与抛物线.【解题过程】由题意知直线l的方程为：1ykx.联立214ykxyx得：22(24)10kxkx.①（1）直线与抛物线没有交点，即方程①无解，故220(24)40kkk，解得：1k.（2）直线与抛物线有两个交点，即方程①有两个不同的实数解，故220(24)40kkk，解得：1k且0k.【思路点拨】用方程组的解的个数来讨论两曲线公共点的个数时，要注意到二次项系数为零的情况.【答案】（1）1k；（2）1k且0k.●活动②归纳总结，提炼结论直线与抛物线的位置关系：设直线方程为ykxb，抛物线22ypx，联立pxybkxy22，得关于x的方程02cbxax.当0a（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则：若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）同类训练已知直线l过下面任意一个定点，抛物线方程为24yx，若直线与抛物线仅有一个交点，则这样的直线有几条？(0,1),(1,2),(1,1)ABC答案：分别有3,2,1条.解析：【知识点】直线与抛物线位置关系.【解题过程】根据,,ABC与抛物线的位置关系，可知分别过,,ABC且与抛物线仅有一个交点的直线条数分别为：3，2,1.点拨：动直线过定点问题与抛物线恰有一个交点问题，首先要验证定点与抛物线的位置关系，从而确定满足条件的直线有几条.探究二：抛物线的焦点弦.●活动①例题出发，发现关系例2.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，又F3(,0)2.所以直线l的方程为y＝33()2x.联立2633()2yxyx消去y得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3.所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－32，所以M到准线的距离等于3＋32＝92.【思路点拨】过焦点的弦长问题注意利用好抛物线的定义可简化运算.【答案】（1）|AB|＝8；（2）92.同类训练已知过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点.求证：（1）12xx为定值；（2）11||||FAFB为定值.答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】（1）设直线:()(0)2pABykxk由2()22pykxypx得：22222(2)04kpkxpkx，故2124pxx为定值.（2）由抛物线的定义知：12||,||22ppAFxBFx故121221212121211112||||()()22224xxpxxppppppFAFBpxxxxpxxxx.点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理.●活动②师生合作，探究弦长我们把过焦点的直线割抛物线所成的相交弦称为抛物线的焦点弦.过焦点F的直线l交抛物线于,AB两点，设两交点),(),(2211yxByxA.可以通过两次焦半径公式得到：（1）当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关：抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关：抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB（2）若已知过焦点的直线倾斜角.则pxypxky2)2(20222pykpy221212pyykpyysin24422221ppkpyy221sin2sin1pyyAB（3）常用结论：pxypxky2)2(20222pykpy和04)2(22222pkxppkxk221pyy和421pxx●活动③强化提升，灵活应用例3.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值.【知识点】抛物线方程及其几何性质.【解题过程】设抛物线的标准方程为pxy22，则82p，从而.4p因此焦点)0,2(pF的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2px.从而所求准线l的方程为2x.（2）如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知ACAF，|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|＝|AC|＝4cos||22cos||2aFAppaFApxx解得aFAcos14||.类似地有aFBFBcos||4||，解得aFBcos14||.记直线m与AB的交点为E，则aaaaFBFAFBFAFAAEFAFE2sincos4cos14cos1421|)||(|212||||||||||||所以aaFEFP2sin4cos||||.故8sinsin2·4)2cos1(sin42cos||||222aaaaaFPFP.【思路点拨】涉及到直线倾斜角，我们可以利用抛物线的定义寻找几何关系，利用倾斜角来表示焦半径,AFBF解题.【答案】（1）F（2，0），2x；（2）||||cos28FPFPa，证明见解题过程.同类训练已知抛物线:C22(0)ypxp的焦点F与椭圆13422yx的右焦点重合，抛物线C与椭圆的交于点P，延长PF交抛物线C于点Q.（1）求抛物线C的方程；（2）求||PQ的值.答案：见解题过程.解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F，2P，抛物线C的方程为24yx.（2）设1122(,),(,)PxyQxy，由2224144yxxy得123x,设:1PQxmy，由241yxxmy得2440ymy，124yy221212144yyxx，232x.12256PQPFQFxxp.点拨：应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识转化处理.3.课堂总结知识梳理直线与抛物线的位置关系：设直线方程为ykxb，抛物线22ypx，联立pxybkxy22，得关于x的方程02cbxax.当0a（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则：若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）重难点归纳焦半径与焦点弦：过焦点F的直线l交抛物线于,AB两点，设两交点1122(,)(,),0AxyBxyp.（1）1||2pAFx，2||2pBFx；12||ABxxp.（2）421pxx，212yyp.（3）若已知过焦点的直线倾斜角，则22sinpAB.（三）课后作业基础型自主突破1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2或－2B．－1C．2D．3答案：C.【知识点】直线与抛物线的位置关系.【解题过程】由y2＝8xy＝kx－2得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则24(2)kk＝4，即k＝2.（当1k时，直线与抛物线相切）点拨：联立方程利用韦达定理解题.2．抛物线y＝14x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是（）A．(2，－1)B．(1，－1)C．(14，－14)D．(116，－116)答案：A.【知识点】对称问题.【解题过程】y＝14x2⇒x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．点拨：点关于直线对称注意两个关键词：“垂直”，“中点”.3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是（）A．1B．2C.58D．158答案：D.解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝|AA′|＋|BB′|2＝2，又|PQ|＝y0＋18，∴y0＋18＝2，∴y0＝158.点拨：注意结合定义用几何关系处理.4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于（）A．9B．6C．4D．3答案：B.【知识点】抛物线的焦半径.【解题过程】设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3