中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

1/28相似模型【相似模型一：A字型】特征模型结论DE∥BCCBCBBCDEADAEDAAD:AB=AE:AC=DE:BC顺着比∠B=∠AEDCBCBBCDEADAEDAAD:AC=AE:AB=DE:BC反着比AD×AB=AE×AC顺着乘∠B=∠ACDCBCBBCDEADAEDAAD:AC=AC:AB=CD:BCAC²=AD×AB当∠BAC=90°ADBCODBACCAODB①△ABD∽△CBAAB²=BD×BC②△ACD∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB∽△CDAAD²=BD×CD【相似模型二：X型】特征模型结论AC∥BDADBCODBACCAODBADBCODBACCAODB①△BD0∽△ACO②DO:0C=BO:0A=BD:AC交叉比③△AOD与△C0B不相似2/28∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）ADBCODBACCAODBADBCODBACCAODB①△AOC∽△DOB②AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D顺着比，交叉乘③△BOC∽△DOA【相似模型三：旋转相似】特征模型结论成比例线段共端点①△ABC∽△ADE②△ABD∽△ACE【相似模型四：三平行模型】特征模型结论AB∥EF∥CDFEBCDAFEDCBA图1FEDCBA图2①有两对A字型相似△BEF∽△BCD△DEF∽△DAB②有一对X型相似△AEB∽△DEC③111ABCDEF【相似模型五：半角模型】特征模型结论ECDBAABDCEEDCBA3/2890度，45度；120度，60度60°45°图2图1旋转NM60°120°EDCBA45°EDCBA①△ABN∽△MAN∽△MCA②△ABD∽△CAE∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】特征模型结论矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形HGFEDCBA【相似模型七：十字模型】特征模型结论正方形①若AF=BE,则AF⊥BE②若AF⊥BE，则AF=BE,长方形PEABCD矩形ABCD中，CE⊥BD，则△CDE∽△BCD，CECDBDBC平行四边形△GME∽△HNF△MED≌△BFA4/28三角形MEDCAB在△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，①D为中点，②AE⊥BD，③BE：EC＝2：1，④∠ADB＝∠CDE，⑤∠AEB＝∠CED，⑥∠BMC＝135°，⑦2BMMC，这七个结论中，“知二得五”【A型，X型，三平行模型】1.如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_________，CDBC_________．FEDCBABCDEFA2．如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．3.如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:FD=_____________．FEBCDANMEDCBA5/284.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则BM:DN=_____________．5.如图所示，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②EFBFCDBD；③1EFEFFDBFABCDBDBD；④111ABCDEF．其中正确的有___________．FEDCBA图1FEDCBA图26.在△ABC中，AB=9，AC=6，点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN=时，△AMN与原三角形相似.7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为.8.如图，已知O是坐标原点，点A.B分别在yx、轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB与△OAD相似，则这样的点D有个.9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s，Q点的运动速度均为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC与△PCQ相似.6/2810.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．7/2813.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．8/2816.如图,在中,于点,于点,连接,求证:..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则 ADAB=_________.19.如图所示，AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则 S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.9/2821.如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为.22.如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．（1）求证：；（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF，分别交DE于M、N两点．如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长.DPPEBQQC图2ADMNEFCGB图1QPADBEC图3GNMFEDCBA10/282.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FCFBFD2．ABCFED3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AM是BC边的中线，CN⊥AM于N点，连接BN，求证：BM2=MN·AM。4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90º，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交于F，与BC相交于G。求证：AD2=AB·AF5.已知ABC中，90ACB，ABCD，垂足为D，DE、DF分别是BDCADC和的高，这时CABDEF和是否相似？AECFBDABMCNFEGDCAB11/286.已知：如图，AD是△ABC的高，BE⊥AB，AE交BC于点F，AB·AC=AD·AE。求证：△BEF∽△ACF7.已知，如图，CE是直角三角形斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结APBGAP,，垂足为G，交CE于D，求证：DEPECE2.8.如图，在四边形ABCD中，90DB，由点D作AC的垂线交AB于E，交AC于F。求证：AEABAD2。9.已知ABC中，CDACB,90是高，若bACaBC,，qADhCD,，pBD，且4,3ba，则c，p，q，h.10.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm2和cm8，则两条直角边的长分别为，斜边上的高为.11.如图，ABCRt，ABCDACB,90于D，,6cmBDcmAD4，则BC.FBCAEDABCDEF12/2812.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD⊥AB，DE⊥AC，EF⊥AB，CD=4，AC=54，则EF:AF=（）A．1:2B．5:2C．5:5D．52:513.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD=9：4则AC：BC的值为（）A．9：4B．3：2C．4：9D．2：314.如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，23ACAB，则BCCD（）A．2:5B．2:3C．3:2D．3:215.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。16.如图，在ABC中，BCAHBAC,90于H，以AC和AB为边在ABCRt形外作等边三角形ABD和ACE，求证：BDH∽AEH.17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=_________，AC=_________，BC=________．CEAFDB13/28ABDC18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，给出以下三对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABO．其中相似的有_____________（填写序号）．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2，455AE，则△BCD的面积是（）A．13B．53C．23D．253DBECA20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，给出以下三对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABO．其中相似的有_____________．ABCDEFOABCDEF21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为________．OFEDCBA14/2822.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F．求证：（1）DEADCECD；（2）△BCE∽△ADM；（3）猜想AM与BE的位置关系，并说明理由．ABCDEMNF23.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：ACCFBCDF．FCADB24.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AECMACCD．HMEBDACF15/28EDCBA25.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④26.如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=4，点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点，当EF⊥AC时，EF的长为（）27.如图，Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，求证：22ACAEBCCE.