初中数学——方程思想解题实例

方程思想解题实例一、知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。二、课堂案例讲练几何中的方程思想在几何中建立等量关系的常用方法有○1利用勾股定理建立等量关系；○2利用图形中的线段相等建立等量关系；○3利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。○4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量关系例1如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，求EC的长．解析：想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长解：设EC的长为xcm，∴DE=（8-x）cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102∴BF=6cm．∴FC=BC-BF=10-6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2∴42+x2=（8-x）2，即16+x2=64-16x+x2，化简，得16x=48．∴x=3．故EC的长为3cm．前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.课堂训练：1.有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8，若将两张纸片交叉重叠，则得到重叠部分面积最小是______，最大的是_________.2.动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？（二）利用三角形相似的性质建立等量关系例1：有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？解析：（1）利用三角形的面积关系求出AB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长；（2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长．前思后想：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；（2）也可根据△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA来解答．课堂训练：1.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AA′，BB′，因为AO=A′O，BO=B′O，所以''AOAOBOBO．又∠1=∠2，所以△AA′O∽△BB′O，有''AOAABOBB，因为AO=1.25，BO=16.5，AA′=0.85，所以1.250.8516.5'BB，解得BB′=11.22，即长臂端点B升高了11.22m”．你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．2．如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．3.如图3，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．（三）利用线段相等建立等量关系例1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）四边形ABQP能成为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由．解析：（1）当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形；（2）若四边形ABQP能成为等腰梯形，则一定要满足PD=CQ.解：（1）当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，而AP=t×1=t；BQ=BC-CQ=30-t×3=30-3t∴t=30-3t解之得：t=7.5（2）四边形ABQP能成为等腰梯形．∵四边形ABCD为等腰梯形∴AB=CD，∠B=∠C.若四边形ABQP是等腰梯形．则AB=PQ，∠B=∠PQB,ADCBMN图3∴CD=PQ，∠C=∠PQB∴CD∥PQ∴四边形PQCD为平行四边形∴PD=CQ.而PD=AD-AP=10-t×1=10-t；CQ=t×3=3t,则10-t=3t,解得t=2.5．前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形ABQP能成为等腰梯形，则PD=CQ，建立相关的等式，若能解出符合题意的值，则存在，然后再顺向写出过程课堂训练：1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？2.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC、PN的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)当t为何值时，四边形PCDQ构成等腰梯形？；(4)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由QADCPB（四）设未知量求角度例1：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，且BD=BC，E为AB上一点，且AD=DE=EB，那么∠A的度数是_________度.解析：设∠EBD=x，根据等边对等角得出∠A=2x，∠C=∠ABC=3x，根据三角形内角和定理得出2x+3x+3x=180°，所以∠A=45°前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列方程解决此类问题。课堂练习：1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______.2.等腰三角形两角的度数之比为4:1，其内角的度数分别为_______.3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A=_______．4.如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）若OA=3，OC=4，OB=5，试判断△AOD的形状，并说明理由．（3）若∠AOB=110°，∠BOC=α，请探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？函数中的方程思想函数中的方程思想主要体现在：1.求两个函数图象的交点问题;2.已知y的值，求相应x的值。例1：__________.解析：根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，再用S△ACD-S△BCD即可求出△ABC的面积．前思后想：本题也可将△ABC的面积分成两个三角形面积的和来求解例2(2012南京)若反比例函数y=xk与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（）A.-2B.-1C.1D.2解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于0.解：令xk=x+2,得x2+2x-k=0,由两图象没有交点，可得此方程无解，即b2-4ac=4+4k0,解得k-1,故选A点评：用方程思想解函数图象交点问题，适应面更广，方法更简单，只需令y1=y2，在所形成的一元二次方程中，若求两函数图象交点，解出方程即可，若图象无交点，则判别式0，若图象有交点，则判别式≥0，若图象有两个不同的交点，则判别式＞0课堂练习：1.(2011黄石)若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=x1的图象没有公共点，则实数k的取值范围是________.2.一次函数图象y=kx+2与抛物线y=2x2+3x+1的交点个数为______.3．已知，如图，一次函数y=2x+1与反比例函数y=xk交于A,B两点，其中点A的横坐标为1.（1）求反比例函数y=xk的解析式；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线相交于点C，求△ABC的面积.课后作业检测1.在△ABC中，∠A-∠C=35°，∠B-∠A=5°，求∠B=______.2.在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是______.3.如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF=_________.4.如图，已知第一象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，在轴上方有一条平行于轴的直线与它们分别交于点A、B，过点A、B作轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且ABAC，则点A的坐标是.（第4题）（图①）（图②）5.如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）.6.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？yxlBACDOBCDPA3342xyOABC△10ABAC8BCDABBPD△CQP△BPD△CQP△ABC△ABC△AQCDBP7.（2012江宁二模）数学实验室：小明取出一张矩形纸片ABCD，AD=B