26.3-第2课时--实践与探索(2)

华东师大版《数学·九年级（下）》§26.3实践与探索第二课时一、探究探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac＜0OXY结论2：抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、b2-4ac＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根与x轴有两个交点。抛物线y=ax2+bx+c2、b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根与x轴有唯一公共点。抛物线y=ax2+bx+c3、b2-4ac＜0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根与x轴没有公共点。判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果相交,求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+4例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．m2变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.例3、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。问题3画出函数的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)当x取何值时,y＝0？这里x的取值与方程有什么关系?234yxx2304xx根据图象回答：当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？xy（－0.5，0）（1.5，0）x=－0.5或1.5时，y=0－0.5x1.5时，y0x－0.5与x1.5时，y0结论：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。结论：一元二次不等式ax2＋bx＋c0解集就是二次函数y=ax2＋bx＋c图象位于x轴上方所对应的所有横坐标值;ax2＋bx＋c0解集就是二次函数y=ax2＋bx＋c图象位于x轴下方所对应的所有横坐标值;试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1)①-x2+x+2=0;②-x2+x+20;③-x2+x+20.(2)①x2-4x+4=0;②x2-4x+40;③x2-4x+40.(3)①-x2+x-2=0;②-x2+x-20;③-x2+x-20.xy020xy-12xy0y=-x2+x+2x1=-1,x2=21＜x＜2x1＜-1,x2＞2x2-4x+4=0x=2x≠2的一切实数x无解-x2+x-2=0x无解x无解x为全体实数拓广探索：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c2的解集是___________;不等式ax2+bx+c2的解集是_________.3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x-2或x4-2x4y知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点a＞0a＜0有两个交点x1,x2（x1＜x2）有一个交点x0没有交点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x2.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x2.y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.y＞0，所有实数；y＜0，无解y＜0，所有实数；y＞0，无解判别式△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c0（a0）的解集不等式ax2+bx+c0（a0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOy△0△＝0△＜0x1;x2x1=x2＝－b/2a没有实数根xx1或xx2x≠x1的一切实数所有实数x1xx2无解无解课堂小结03212＝解：将方程变形得：xx例：利用函数图象，求方程的解。3212xx3212xxy令xy2132yxx∵二次函数y=-x2-0.5x-3的图象与x轴交于点(-1.5,0)与(2,0)∴方程x2=0.5x+3的解为:x1=-1.5,x2=2和2就是原方程的解.23标B的横坐他认为它们的交点A,3的图象,x21和yxy而是分别画出函数项,唯独小刘没有将方程移方程的解,得出观察它与x轴的交点,画出函数图象,0,3x21x化为几乎所有学生都将方程3的解时,x21求方程x:中出现争论初三某班的学生在问题222图27.3.图27.3.结论：利用图象解任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c=0时,均可将其转化为求二次函数y=x2与一个一次函数y=kx＋b的交点坐标.步骤：1.将ax2＋bx＋c=0化为x2＋b/a.x＋c/a=0;2.移项变形为x2=-b/a.x-c/a;3.改写为二次函数y=x2与一次函数y=-b/a.x-c/a形式;4.在同一坐标系内作出两个函数的图象;5.找出交点坐标,写出方程的解.例1：利用函数图象，求方程与方程组的解。02212xx11yxxy（2，-4）（－1，-1）解:在坐标系作y=-x2的图象,在同一坐标系内作y=-x-2的图象,∵二次函数y=-x2与-y=-x-2的图象交于点(-1,-1)与(2,-4)42yx222xyxy解.由2x2+x-2=0得x2+0.5x-1=0;∴x2=-0.5x+1令y=x2与y=-0.5x+1（-1.3，1.7）（0.8，0.7）在坐标系作y=x2与y=-0.5x+1的图象,xy∵二次函数y=x2与-y=-0.5x+1的图象交于点(-0.8,0.7)与(-1.3,1.7)7.13.1yx7.08.0yx练习：课本第27页做一做例2、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC.例3、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。三、基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是；3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=。2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）（A）a＜0b2-4ac≤0（B）a＜0b2-4ac＞0（C）a＞0b2-4ac＞0（D）a＜0b2-4ac＜0D例4.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动时间（0＜t＜6）那么：QPADCB(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形QPBCD的面积为Scm2,写出S与t的函数关系式;t为何值时,S最小?最小值是多少?(2)求四边形QAPC的面积；解(1)由题意得：DQ=t,AP=2t∵AB=12cm，BC=6cm∴AQ=6-t,BP=12-2tAPAQSAPQ21tt2621APQQPBCDSSS-矩五tt26211267262tt7262tt6332t∴t为3时,S最小,最小值是63.ttSDQC612212PBCDQCQAPCSSSS-矩四tt6366126ttSPBC63621262136QPCBAD练习:在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。作业：1、课本第27页习题27.3第3、4题。2、课本第30页第8、11题