人教高一数学指数函数讲义

第四节、指数函数一、初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示。．式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。思考：nna=a一定成立吗？结论：当n是奇数时，aann当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann例1、（1）125.0833-41633（2）7722)(2yxyxyx=2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Qsra；（2）rssraa)(),,0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba．无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。例2、化简（1）321132132)(abbababa（2）363342baba例3、已知函数）（Raxxaxfxx,0,20,2)(,若,1)]1([ff则a=（）例4、已知xx-2102510，则（）二、指数函数及其性质（一）指数函数的概念一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。注意：（1）指数函数xay中xa的系数为1；（2）底数a是大于0且不等于1的常数。（3）指数就是自变量x，是变量。例5、函数xaaay)232(2为指数函数，求a的取值范围。（二）指数函数的图象和性质研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x)31(y（2）x)21(y（3）x2y（4）x3y（5）x5y2．从画出的图象中你能发现函数x2y的图象和函数x)21(y的图象有什么关系？可否利用x2y的图象画出x)21(y的图象？3．从画出的图象（x2y、x3y和x5y）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？总结：（1）指数函数对于110aa和，函数增减性完全相反，因而在做题时，千万不要忘记分类讨论的思想；（2）指数函数恒过（0,1）点；（3）对于在同一坐标系中底数不同的指数函数，在y轴右侧，图像从上到下，相应的底数由大变小，而在y轴左侧，图像从下到上，相应底数由大变小。所以指数函数的值按逆时针的方向变大。（4）函数xxayay)1(和关于y轴对称。例6、a,b,c,d是不等于1的实数，右图为分别以a、b、c、d为底的指数函数的图像，则a、b、c、d四个数的大小关系为（）A、dcba1B、cdab1C、dcba1D、cdba1例7、（1）函数14)(xaxf恒过定点P，则P点的坐标是（）（2）函数1)(xaxf（1,0aa且）的图像恒过点A，下列函数图象不过点A的是（）A、xy1B、2xyC、12xyD、)2(log2xy例8、比较指数的大小（五三：p27）画图比较：（1）比较5.27.1和3-7.1的大小比较3.03.05.17.1和的大小比较1.33.08.07.1和的大小对于三个数的比较，先两两比较，根据值的大小，一般是与0或者1作比较来分组，再分别比较；而对于指数底数都不相同的幂比较大小，则可以通过一些中间值来比较。（2）设6.05.16.05.1,6.0,6.0cba，则cba,,的大小关系为（）（3）已知63123,11,5cba，试比较a，b，c的大小。（三）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，)1a0a(a)x(fx且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；（4）当1a时，若21xx，则)x(f)x(f21；例9、已知实数ba,满足等式ba)31(21）（，下列五个关系式中（1）ab0；（2）0ba；（3）ab0；（4）0ab；（5）1ab；其中不可能成立的是（）A、1个B、2个C、3个D、4个例10、（1）解不等式22122x）（（2）求232xxay的单调区间。（3）求3222xxy的单调区间。（4）求xxy4212的单调区间。与指数函数有关的复合函数问题。例11、求函数32212xxy的单调区间。