2014年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合{1,0,1}M，{0,1,2}N，则MN（）（A）{1,0,1}（B）{1,0,1,2}（C）{1,0,2}（D）{0,1}【答案】B【解析】{1,0,1,2}MN，故选B．（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数z满足(34i)25z，则z（）（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i【答案】A【解析】2525(34i)25(34i)=34i34i(34i)(34i)25z，故选A．（3）【2014年广东，理3，5分】若变量,xy满足约束条件121yxxyzxyy且的最大值和最小值分别为M和m，则Mm（）（A）8（B）7（C）6（D）5【答案】C【解析】画出可行域，易知在点(2,1)与(1,1)处目标函数分别取得最大值3M，与最小值3m，6Mm，故选C．（4）【2014年广东，理4，5分】若实数k满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的（）（A）离心率相等（B）虚半轴长相等（C）实半轴长相等（D）焦距相等【答案】D【解析】09k，90k，250k，从而两曲线均为双曲线，又25(9)34(25)9kkk，两双曲线的焦距相等，故选D．（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量1,0,1a，则下列向量中与a成60夹角的是（）（A）1,1,0（B）1,1,0（C）0,1,1（D）1,0,1【答案】B【解析】222222(1,0,1)(1,1,0)1210(1)1(1)0，即这两向量的夹角余弦值为12，从而夹角为060，故选A．（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）（A）200,20（B）100,20（C）200,10（D）100,10【答案】A【解析】样本容量为(350045002000)2%200，抽取的高中生近视人数为：20002%50%20，故选A．（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,llll，满足12ll，23ll，34ll则下列结论一定正确的是（）（A）14ll（B）14//ll（C）14,ll既不垂直也不平行（D）14,ll的位置关系不确定【答案】D【解析】平面中的四条直线，14ll，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．2（8）【2014年广东，理8，5分】设集合12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（）（A）60（B）90（C）120（D）130【答案】D【解析】12345xxxxx可取1,2,3，和为1的元素个数为：1125C10C；和为2的元素个数为：122255C40CA；和为3的元素个数为：1311225254CCC80CC，故满足条件的元素总的个数为104080130，故选D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13）（9）【2014年广东，理9，5分】不等式125xx的解集为．【答案】,32,【解析】数轴上到1与2距离之和为5的数为3和2，故该不等式的解集为：,32,．（10）【2014年广东，理10，5分】曲线52xye在点(0,3)处的切线方程为．【答案】530xy【解析】'55xye，'05xy，所求切线方程为35yx，即530xy．（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．【答案】16【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为3671016CC．（12）【2014年广东，理12，5分】在ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，已知coscos2bCcBb，则ab．【答案】2【解析】解法一：由射影定理知coscosbCcBa，从而2ab，2ab．解法二：由上弦定理得：sincossincos2sinBCCBB，即sin()2sinBCB，sin2sinAB，即2ab，2ab．解法三：由余弦定理得：222222222abcacbbbabac，即224aab，2ab，即2ab．（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列na的各项均为正数,且510119122aaaae,则1220lnlnlnaaa．【答案】50【解析】1011912aaaa，51011aae，设1220lnlnlnSaaa，则20191lnlnlnSaaa，51201011220ln20ln20ln100Saaaae，50S．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sincos和sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C的交点的直角坐标为．【答案】(1,1)【解析】1C即2(sin)cos，故其直角坐标方程为：2yx，2C的直角坐标系方程为：1y，1C与2C的交点的直角坐标为(1,1)．（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，3点E在AB上且2EBAE，AC与DE交于点，则CDFAEF的面积的面积．【答案】9【解析】显然CDFAEF，22()()9CDFCDEBAEAEFAEAE的面积的面积．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数()sin(),4fxAxxR，且53()122f．（1）求A的值；（2）若3()()2ff，(0,)2，求3()4f．解：（1）5523()sin()sin1212432fAA，32323A．（2）由（1）得：()3sin()4fxx，()()3sin()3sin()44ff33(sincoscossin)3(sin()coscos()sin)23cossin6cos444442，6cos4，(0,)2，10sin4，331030()3sin()3sin()3sin344444f．（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]1n1f(45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,nnf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间30,35的概率．解：（1）17n，22n，170.2825f，220.0825f．（2）频率分布直方图如下所示：（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间30,35的概率为0.2，设日加工零件数落在区间30,35的人数为随机变量，则(4,0.2)B，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间30,354的概率为：00441(0.2)(0.8)10.40960.5904C．（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，30DPC＝，AFPC于点F，//FECD，交PD于点E．（1）证明：CF平面ADF；（2）求二面角DAFE－－的余弦值．解：（1）PD平面ABCD，PDPCD，平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，AD平面PCD，CF平面PCD，CFAD，又AFPC，CFAF，,ADAF平面ADF，ADAFA，CF平面ADF．（2）解法一：过E作//EGCF交DF于G，CF平面ADF，EG平面ADF，过G作GHAF于H，连EH则EHG为二面角DAFE的平面角，设2CD，030DPC，030CDF，从而1==12CFCD，4CP，EFDC∥，DECFDPCP，即12=223DE，32DE，还易求得32EF，3DF，从而3332243DEEFEGDF，易得192AE，7AF，32EF，19331922747AEEFEHAF，故22319363()()44747HG，6347257cos1947319GHEHGEH．解法二：分别以DP，DC，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设2DC，则(0,0,2)A，(0,2,0)C，(23,0,0)P，设CFCP，则(23,22,0)F，DFCF，可得14，从而33(,,0)22F，易得3(,0,0)2E，取面ADF的一个法向量为11(3,1,0)2nCP，设面AEF的一个法向量为2(,,)nxyz，利用20nAE，且20nAF，得2n可以是(4,0,3)，从而二面角的余弦值为12124325719||||219nnnn．（19）【2014年广东，理19，14分】设数列na的前n和为nS,满足2*1234,nnSnannnN，且315S．（1）求123,,aaa的值；（2）求数列na的通项公式．解：（1）211222314127aSaa①2122331212+=432424()204(15)20aaSaSaaaa，12+8aa②联立①②解得1235aa，33121587aSaa，综上13a，25a，37a．（2）21234nnSnann③当2n时，212(1)3(1)4(1)nnSnann④③④并整理得：1216122nnnnaann，由（1）猜想21nan，以下用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知，当1n时，13211a，猜想成立；（ⅱ）假设当nk时，猜想成立，即21kak，则当1nk时，212161211411(21)33232(1)1222222kkkkkkaakkkkkkkkk，这就是说1nk时，猜想也成立，从而对一切nN，21nan．（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53．（1）求椭圆C