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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 初中数学七年级(上册)知识点总结
..Word完美格式提分数学七年级上知识清单第一章有理数一.正数和负数⒈正数和负数的概念负数:比0小的数正数:比0大的数0既不是正数,也不是负数注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量,它们计数:比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反,比原先少了的数,减少降低了的数一般记为负数。3.0表示的意义⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。二.有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。2.(1)凡能写成)0pq,p(pq为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数;..Word完美格式(2)有理数的分类:①按正、负分类:负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②按有理数的意义来分:负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数(3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;(4)自然数0和正整数;a>0a是正数;a<0a是负数;a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数.三.数轴⒈数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大(小)数..Word完美格式⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a0表示a是正数;反之,a是正数,则a0;⑵a0表示a是负数;反之,a是负数,则a0⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。四.相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。4.相反数的求法⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);0的相反数还是0;⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5);)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数5.相反数的表示方法⑴一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。当a0时,-a0(正数的相反数是负数)..Word完美格式当a0时,-a0(负数的相反数是正数)当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。五.绝对值⒈绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.可用字母表示为:①如果a0,那么|a|=a;②如果a0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。可归纳为①:a≥0,═|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)②a≤0,═|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;绝对值是0的数是0.即:a=0═|a|=0;⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.绝对值可表示为:)0a(a)0a(0)0a(aa或)0a(a)0a(aa;即:|a|≥0;绝对值的问题经常分类讨论;⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;0a1aa;0a1aa;⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a0),则x=±a;⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,baba⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。..Word完美格式(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的数总比右边的数小,或者右边的数总比左边的数大⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。(3)正数的绝对值越大,这个数越大;(4)正数永远比0大,负数永远比0小;(5)正数大于一切负数;(6)大数-小数>0,小数-大数<0.5.绝对值的化简①当a≥0时,|a|=a;②当a≤0时,|a|=-a6.已知一个数的绝对值,求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。六.有理数的加减法.1.有理数的加法法则⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;⑶互为相反数的两数相加,和为零;⑷一个数与0相加,仍得这个数。2.有理数加法的运算律⑴加法交换律:a+b=b+a⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。..Word完美格式3.加法性质一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:⑴当b0时,a+ba⑵当b0时,a+ba⑶当b=0时,a+b=a4.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)=-33+18-15-1+23(省略加号和括号)=(-33-15-1)+(18+23)(把符号相同的加数相结合)=-49+41(运用加法法则一进行运算)=-8(运用加法法则二进行运算)Ⅱ.把和为整数的加数相结合(凑整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(将减法转换成加法)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加号和括号)=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和为整数的加数相结合)=4-10+3.8(运用加法法则进行运算)=7.8-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)=-2.2(得出结论)Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)-53-21+43-52+21-87原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87)..Word完美格式=-1+0-81=-181Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)(+0.125)-(-343)+(-381)-(-1032)-(+1.25)原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141)=81+343-381+1032-141=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=1061Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)-351+10116-12221+4157原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221)=-1+154+2211=-1+308+3015=-307Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69..Word完美格式原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-
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