第四章包含趋势的模型-xlx

第四章包含趋势的模型本章主要内容Panel单位根6单位根和回归残差3功效与确定性解释变量4结构突变的单位根检验5确定性趋势和随机趋势1去掉趋势2总结MonteCarlo试验自助法引言引言-本章要解决的问题1.对于均值随时间变化的时间序列，它的趋势可能是确定性的，也可能包含随机成分。在做假设检验或做长期预测时，正确模拟这个趋势是致关重要的。2.说明Dickey-Fuller的单位根检验和扩展的Dickey-Fuller的单位根检验。这些检验也可用来帮助检测随机趋势的存在。给出几种检验的形式（包括季节单位根检验）。为了详述这些统计量，需要介绍MonteCarlo实验。3.考虑存在结构性变化时的单位根检验。结构性变化可使趋势检验变得复杂；政治体制的变化可导致结构性变化，使一个平稳序列显示出非平稳性。4.给出检验一个序列是否包含一个单位根的一般方法。5.把一个具有趋势的序列分解成平稳和趋势成分。确定性趋势和随机趋势通常需要把一个线性随机差分方程的一般解表示成下面三个不同部分：ty=趋势+平稳成分+噪声在第2章我们已经知道如何利用Box-Jenkins方法来对平稳成分进行建模。第3章已经知道如何对残差（噪声）的方差进行建模。计量经济学家的重要任务是研究出简单的随机差分方程模型来模拟具有趋势变量的行为。考察图4-1，实际GDPtrgdp的明显特征是随着时间而增加。对这个序列，也许有人用下面多项式估计这个趋势的持续增加：232.2240.3850.00031.856trgdpttEt（4.1.1）（61.27）（20.89）（-6.78）（12.17）10002000300040005000600050556065707580859095GDP图4.1实际GDP是确定性趋势吗？011011tittiiyA尽管t-统计量是显著的，但用这个模型表示实际GDP的趋势是有问题的。因为在这个趋势中没有随机成分，（4.1.1）说明实际经济有确定性的长期增长率。“实际经济周期”学派认为技术进步对经济的趋势有长期效应。由于技术革新是随机的，趋势中应反映这种随机性。其它宏观经济学派也认为趋势并不完全是确定性。例如，石油价格冲击或减税可以影响投资和经济的长期增长率。35040045050055060065070050100150200250300350400SZ图4.2表示深圳综合指数的收盘价和日元对美元的汇率。序列没有明显的增加或减少的趋势。没有结构性间断使均值发生改变。序列也没有返回到长期均值的趋势。如果把趋势定义为一个序列的“持久”或“不衰减”的成分，那么序列也有趋势。809010011012013014015025050075010001250JPY趋势平稳（TS）模型序列ty有如下表现形式00()ttyyatAL（4.1.2）在（4.1.2）中，()tAL为平稳随机过程。在这种情形下，ty可以偏离它的趋势值大约()tAL。这个偏差是平稳的，ty是暂时偏离这个趋势。可以证明tsy的长期预报将收敛到00()yats。这类模型被称为趋势平稳（TS）模型。-404812162024102030405060708090100Y几种常见的趋势模型随机趋势模型现在假设ty的预期变化是0a单位，令ty等于0a加上白噪声：0ttya（4.1.3）模型（4.1.3）是模拟包含随机趋势的时间序列的基本模型。在这种情况下，（4.1.3）中ty的趋势与（4.1.2）中ty的趋势有本质的不同。若0y是初值条件，通过迭代可以发现：001ttiiyyat这里ty含有确定性趋势成分0at和成分0iy。我们称第二个成分为随机截距项。在没有任何冲击的条件下，截距项为0y。但是，每个冲击i都使截距项有一个平移。由于i的系数并不是衰减（都为1），每个对截距项的冲击效应都是持久的。这种过程被称为随机趋势的过程。我们考虑下面三种类型的随机趋势：（一）随机游走模型在（4.1.3）中，00a时称为随机游动模型，它在经济与金融文献中有特殊的地位。例如，“有效市场”假说认为：股票价格从一天到下一天的变化是一个随机游动，所以：1tttyy（或tty）（4.1.4）如果0y是初始条件，则这个随机游动的解01ttiiyy取期望，0ttsEyEyy。所以，随机游动的均值是常量。但，所有随机冲击对ty有非减的效应。-6-4-20246102030405060708090100Y随机游走模型容易证明方差与时间有关2()tVaryt，2()()tsVaryts方差不恒定，随机游走过程非平稳。t时，方差也趋于无穷。所以，随机游走散满无序，不显示出任何增大或减小的趋势。容易计算出相关系数stst对于前几个自相关系数（s较小时），s近似等于1。随着s的增加，s的值逐渐变小。因此，随机游走过程的自相关函数较缓慢趋于零。所以可用自相关函数来区分单位根过程和自回归系数近似1的平稳过程。（二）带漂移项的随机游走模型令ty的变化一部分是确定性的，一部分是随机的10tttyya因此，（4.1.3）是随机游动加漂移项。给定初始条件0,tyy的一般解为001ttiiyyat（4.1.5）这时ty的时间路径由两个非平稳成分所支配：线性确定性时间趋势0at和随机趋势t。在大样本中，渐近理论认为ty的时间路径由确定性时间趋势0at所支配。但是，不能由此认为可以容易分辨随机游动模型和带漂移项的随机游动模型。因为，在小样本中，增大t的方差或减小0a的绝对值就会很难分辨序列的长期特性。051015202530102030405060708090100Y具有较大方差或较小截距项的过程:随机游走模拟.wfl;带漂移or无漂移随机游动.prg-12-8-4048102030405060708090100Y2-40-30-20-10010102030405060708090100Y1大样本情形下，TS过程与有漂移项的随机游走过程:随机游走模拟.wfl;趋势平稳+漂移随机游走.prg（减小带漂移项随机游走过程的方差，两过程及其相似）-4004080120160100200300400500600700Y4020406080100120140160100200300400500600700Y5(三)单位根过程满足如下表达式的随机过程称为单位根过程20(1)(),dttjjLyLt为白噪声过程；过程ty记为I(d)或者ARIMA(p,d,q)过程d=1的情形很多见，I(1)过程20(1);(),ttttjjLyuuL将上式与带有漂移项的随机游走过程对比，发现I(1)过程就是将随机游走过程中的白噪声替换为一般的平稳过程（四）考察单位根过程与随机趋势的关系考虑I(1)过程：(1);()ttttLyuuL1230()(1)(1)();();()jjjjjjjLLLLLBeveridge-nelson(B-N分解)---结论见Hamilton610,证明见645此结果证明如下(注意：12(1(1)(1))nnnxxxxx)---略23123212321232332012()(1)(1)(1)(1))(-1)((1)(1))(1)((+)+)+(+))(1)()LLLLLLLLLLLLLL（（三）考察单位根过程与随机趋势的关系有了上述结果，则有1(1)(1)()(1)ttttttuLLt为平稳随机过程；由单位根过程的表达式(1)ttLyu，即00011(1)tttiitiiyytuyt因此，单位根过程可被分解成确定性趋势，随机趋势，平稳随机过程和初始条件四部分由单位根过程的定义获取差分使得过程平稳的可行性由B-N分解获取协整的可行性：消除其随机趋势趋势平稳过程与差分平稳过程的区别预测结果的不同预测误差的方差不同动态乘子不同—即随机扰动的影响平稳化处理不同趋势平稳过程与差分平稳过程的区别预测结果20(),ttjjytL根据系数所满足的条件，有当预测水平增加时，预测结果收敛于确定性部分趋势平稳过程与差分平稳过程的区别对于单位根过程，可证明(hamilton-533)20(1)(),ttjjLyL对于含漂移项的随机游走过程，有动态乘子比较20(),ttjjytL20(1)(),ttjjLyL趋势平稳过程单位根过程随机扰动的影响最终消失1111121++++tstststttstststttttttsyyyyyyyyyy随机扰动的影响具有持续性例子：y表示美国GNP数据，估计结果如下过程可表示为计算随机扰动对y的远期影响随机扰动的远期影响为234(10.3120.1220.1160.081)0.555()0.555ttttLLLLyLy去掉趋势一个具有趋势的序列和一个平稳序列的重要差别：（1）对平稳序列的冲击效应是暂时的，随时间的推移，冲击效应将消散，序列将返回到长期均值水平。（2）含有随机趋势的序列将不会返回到长期水平。趋势有确定性成分和随机性成分。可以进行适当的变换来消除趋势部分，将其变换成平稳序列，这有着重要的意义。消除趋势的通常方法是差分和去趋势。去趋势需要把这个变量对时间回归求出残差（去趋势是去掉确定性趋势而不是随机趋势）。包含一个单位根的序列可通过差分达到平稳。本节的目的是比较去掉趋势的这两种方法。差分首先考虑带漂移项的随机游动模型的解001ttiiyyat取差分，得0ttya。这时差分后的序列ty是平稳的。去趋势另一种方法是去趋势，即估计回归方程01ttyaat，从观测到的序列中减去ty的这个估计值，得到t的估计值。更一般地，一个时间序列可以有多项式趋势：230123ntntyaatatatate这里te是一个平稳过程。通过把ty对一个确定性多项式的时间趋势回归，而去趋势。多项式的阶数可通过t-检验，F-检验或AIC,SBC来确定。在实际中通过使用最大的n值来估计这个回归方程，若na的t-统计量为0，考虑阶为n-1的多项式趋势。F-统计量可用来确定一组系数（如,,ninaa）是否异于零。AIC,SBC可用来证实多项式适当的阶数。ty的估计值与实际值的差就是平稳序列te的估计值，被去掉趋势后的过程可以用传统的方法（如ARMA估计）来建模。差分平稳和趋势平稳模型我们有两种方式消除趋势。一个趋势平稳过程可以通过去掉确定性趋势而转化为平稳序列。一个具有单位根的过程，（称为差分平稳序列DS）可通过差分而转化为平稳序列。当使用不适当的方法消除趋势时，会产生问题。例如，考虑一个具有确定性趋势和噪声的模型。01ttyyat一阶差分是11tttya这里ty是不可逆的（即ty不能表达成自回归的形式）。因为一个平稳过程是可逆的，只须MA部分没有单位根。同样地，从差分平稳过程(单位根过程)中减去确定性时间趋势也是不适当的。在单位根过程中减去00yat并不能得到平稳序列，因为趋势中的随机部分没被消除。（单位根过程可以表示为确定趋势，随机趋势，平稳成分）正确处理有趋势的过程1.处理不当，会产生问题(过度差分或者是无法去除随机趋势)2.单位根过程之间建立回归方程容易产生虚假回归平稳非平稳I(d):d=?Trend-stationaryorUnitroottestAugmentedDickey-Fulle