(完整版)随机过程习题答案

1随机过程部分习题答案习题22.1设随机过程btbVttX),,0(,)(为常数，)1,0(~NV，求)(tX的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~NV，所以1,0DVEV，bVttX)(也服从正态分布，bbtEVbVtEtXE][)]([22][)]([tDVtbVtDtXD所以),(~)(2tbNtX，)(tX的一维概率密度为),(,21);(222)(xettxftbx，),0(t均值函数btXEtmX)]([)(相关函数)])([()]()([),(bVtbVsEtXsXEtsRX][22bbtVbsVstVE2bst2.2设随机变量Y具有概率密度)(yf，令YtetX)(，0,0Yt，求随机过程)(tX的一维概率密度及),(),(21ttRtEXX。解对于任意0t，YtetX)(是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln{}{})({);(xYtPxePxtXPtxFtY)ln(1}ln{1}ln{txFtxYPtxYPY对x求导得)(tX的一维概率密度xttxftxfY1)ln();(，0t均值函数0)(][)]([)(dyyfeeEtXEtmyttYX相关函数0)()(2121)(][][)]()([),(212121dyyfeeEeeEtXtXEttRttyttYtYtYX22.3若从0t开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程时刻抛得反面时刻抛得正面tttttX,2),cos()(试求：（1）)(tX的一维分布函数),1(),21(xFxF和；（2）)(tX的二维分布函数),;1,21(21xxF；（3）)(tX的均值)1(),(XXmtm，方差)1(),(22XXt。解（1）21t时，)21(X的分布列为)21(X01P2121一维分布函数1,110,210,0),21(xxxxF1t时，)1(X的分布列为)1(X-12P2121一维分布函数2,121,211,0),1(xxxxF（2）由于)1()21(XX与相互独立，所以))1(),21((XX的分布列为)1(X)2/1(X-1204141314141二维分布函数2,1,121,12,10,2121,10,4110,0),;1,21(212121212121xxxxxxxxxxxxF或或（3）tttttmX)cos(21221)cos(21)(21)1(Xm222222])cos(21[)2(21)(cos21)]([)]([)(tttttEXtXEtX)cos()(cos412)(cos212222tttttt)cos()(cos4122tttt2])cos(21[tt49)1(2X2.4设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中为常数，BA,是相互独立且服从正态分布),0(2N的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解因BA,独立，),0(~2NA，),0(~2NB所以，2][][,0][][BDADBEAE均值)]sin()cos([)]([)(tBtAEtXEtmX0][)sin(][)cos(BEtAEt相关函数))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX1221212212sincossincossinsincoscosttABttABttBttAE][sinsin][coscos221221BEttAEtt)sinsincos(cos21212tttt4)(cos212tt2.5已知随机过程)(tX的均值函数)(tmX和协方差函数)(),,(21tttBX为普通函数，令)()()(ttXtY，求随机过程)(tY均值和协方差函数。解均值)()()()]([)]()([)]([)(ttmttXEttXEtYEtmXY协方差)()(),(),(212121tmtmttRttCYYYY)()()]()([2121tmtmtYtYEYY)]()()][()([)()()(()((22112211ttmttmttXttXEXX)()()]()([2121tmtmtXtXEXX其它项都约掉了)()(),(2121tmtmttRXXX),(21ttCX2.6设随机过程)sin()(tAtX，其中,A是常数，在),(上服从均匀分布，令)()(2tXtY，求),(ttRY和),(ttRXY。解)]()([)]()([),(22tXtXEtYtYEttRY)(sin)(sin2222tAtAE))222cos(1))(22cos(1(42ttEA)222cos()22cos()222cos()22cos(142ttttEA而0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(tdttE同理0)222cos(tE利用三角积化和差公式)222cos()22cos(ttE)424cos()2cos(21tE52cos21所以，]2cos211[4),(2AttRY)]()([)]()([),(2tXtXEtYtXEttRXY)](sin)sin([22tAtAE))]222cos(1)([sin(23ttEA)]222cos()sin()[sin(23tttEA)]323sin()2sin()sin(2[43tttEA而0)sin(1)]sin(2[dttE同理0)]323[sin(,0)]2[sin(tEtE所以，0),(ttRXY2.7设随机过程2)(ZtYtXtX，其中ZYX,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(tX的协方差函数。解根据题意，1,0222EZDZEYDYEXDXEZEYEX0][)]([)(22EZttEYEXZtYtXEtXEtmX)]()()][()([),(221121tmtXtmtXEttCXXX)])([()]()([22221121ZtYtXZtYtXEtXtXE因ZYX,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2221212222122121ttttEZttEYttEX2.8设)(tX为实随机过程，x为任意实数，令xtXxtXtY)(,0)(,1)(6证明随机过程)(tY的均值函数和相关函数分别为)(tX的一维和二维分布函数。证明})({0})({1)]([)(xtXPxtXPtYEtmY);(})({txFxtXPX))(),((21tYtY的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(})(,)({11)]()([),(22112121xtXxtXPtYtYEttRY})(,)({012211xtXxtXP})(,)({102211xtXxtXP})(,)({002211xtXxtXP),;,(})(,)({21212211ttxxFxtXxtXPX2.9设)(tf是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在（0，T）上均匀分布，令)()(YtftX，求证随机过程)(tX满足TdttftfTtXtXE0)()(1)]()([证明Y的密度函数为其它,0),0(,1)(TyTyfY)]()([)]()([YtfYtfEtXtXEdyyfytfytfY)()()(TdyytfytfT0)()(1TttduufufTuyt)()(1tTtduufufT)()(1TduufufT0)()(12.13设}0),({ttX是正交增量过程，VX,0)0(是标准正态随机变量，若对任意的0t，VtX与)(相互独立，令VtXtY)()(，求随机过程}0),({ttY的协方差函数。7解因)(tX是正交增量过程，)1,0(~NV，所以1][,0][,0)]([VDVEtXE，有0][)]([])([)]([VEtXEVtXEtYEmY)]()()][()([),(221121tmtYtmtYEttCYYY)])()()([()]()([2121VtXVtXEtYtYE])([])([][)]()([21221VtXEVtXEVEtXtXE（因VtX与)(独立，0][,0)]([VEtXE）][)]()([221VEtXtXE1)],[min(212ttX（利用正交增量过程的结论）习题44.1设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率31向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解转移概率如图一步概率转移矩阵为1000031313100031313100031313100001P二步转移概率矩阵为1000031313100031313100031313100001P(2)10000313131000313131000313131000011000094929291091929392910919292940000184.2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p，对于2n，令32,1,0或nX，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{nXn的一步和二步转移概率矩阵。解对应状态为正，正）(0，1（正，反），2（反，正），3（反，反）pPp}{(00（正，正）正，正），qPp}{(01（正，正）正，反）0}{(20（正，正）反，正）Pp（不可能事件）0}{(30（正，正）反，反）Pp（不可能事件）同理可得下面概率0}{(10（正，反）正，正）Pp，0}{(11（正，反）正，反）PppPp}{(12（正，反）反，正），qPp}{(13（正，反）反，反）pPp}{(20（反，正）正，正），qPp}{(21（反，正）正，反）0}{(22（反，正）反，正）Pp，0}{(23（反，正）反，反）Pp0}{(30（反，反）正，正）Pp，0}{(31（反，反）正，反）PppPp}{(32（反，反）反，正），qPp}{(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P二步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P(2)