第一次数学危机

13第一次数学危机2历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。一、什么是数学危机危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；引进分数使乘法有了逆运算——除法。接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。5二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年）毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。6毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)7毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。8相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。92.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得几何《原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。102）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。3）毕达哥拉斯定理即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。11《周髀算经》中的“勾股定理”（约公元前700年）《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”12中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法（刘徽），证明了勾股定理。如图1314西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。153.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说1）“万物皆数”学说①数，是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。②任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”，意即有公共的度量单位t。nmadtamtdnt162）实例①形数三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；17(1)122nnn213(21)nn(32)14(32)2nnn215(43)2nnn三边形数四边形数五边形数六边形数3610154916255122235615284518“形数”体现了数与形的结合；让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，加强了数学中的理论化倾向。19②多个场合下的小整数比ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得到谐音。20ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形，如图：2122毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律创造世界的。“万物皆数”学说产生了很大的影响。23三、与第一次数学危机对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的符号，这就是。22241.的发现和危机的产生2C11根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为，则，推出222112cc22c1）一个不能表成整数比的数25下边证明，当时，不能表成整数比。22cc由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，∴是偶数。2nn如果不然，有两个正整数和使（不妨设是既约分数即）。两端平方得，即。ncmnm222nm222mnmn(,)1mn26因“既约”，不能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇数而不能被4整除，右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。222mnncmnmmmmnc[注]：这是“反证法”的开始。272）不可公度的线段设正方形的边长为，对角线长为，如图：adaad28根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是的整数倍，如，，这里，是整数.222daamtdnttadtmnadtamtdnt29由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。222da22222ntmt于是，与就是不可公度线段。ad所以，不可能存在长度为的线段，使得且。tamtdnt（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似形”）303）危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的希帕索斯(Hippasus)314）无理数像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为无理数。称两个整数之比为有理数，而把那样的一类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。22cc232rationalnumber是有理数的英文名称，而rational是一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对“rationalnumber”正确的翻译应该是“比数”。“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。把由自然数产生的数叫做比数，其实才符合古人的原意。nm33在东方，最早把rationalnumber翻译过来的是日本人。可能是那个日本人英文不好，数学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来，沿用至今，形成习惯。如果正确地把两个整数之比叫做“比数”，那么像一类的数称为“非比数”，还是颇有道理的。2342.“两个量的比相等”的新定义——部分地消除了危机35两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系”。acbd36“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。373.无理数与数系的扩张——危机的解决1）有理数的稠密性定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（,）中都存在着这个数集中的点。定理：有理数集在数轴上是稠密的。ab382）数轴①古代观点：数轴↔有理数②现代观点：数轴↔实数210393）数系的扩张——危机的解决①自然数系②有理数系③实数系40实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”。连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了。数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了。4142[思]：能说“任何两个有理数之间都有无理数”吗？为什么？43四、反证法与无理数1.反证法1）反证法的威力44例：有数学书、物理书、外语书共十本。证明：在这三种书籍中，有一种书籍至少有四本。穷举法：数学书10998887777…0…0物理书0010120123…0…10外语书0102103210…10…0反证法：452）反证法的依据和步骤依据：逻辑里的“排中律”（命题A与命题非A中，必有一个是正确的）。步骤：否定原命题→推导出矛盾→原命题成立。3）哈代对反证法的评论“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”46472.定理：设是大于1的自然数，写成不同素数方幂的乘积为，则是有理数全是偶数。[思]：证明该定理。11rnnrmppm1rnnmm