南京理工大学硕士研究生矩阵分析与计算试题答案(..)

1/32011年南京理工大学硕士研究生《矩阵分析与计算》考试（A卷）参考答案注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效一、（12分）设矩阵0.60.50.10.3A，计算21,,FAAAA。解：10.8,1.1,0.71FAAA=0.8426………….9分0.370.330.330.34TAAmax()0.6853TAA，………….2分从而2()0.8278TmaxAAA………….1分二、（15分）求矩阵141130001A的初等因子及Jordan标准形。解：初等因子21,(1)………….10分Jordan矩阵1111J………….5分三、（20分）已知1011011,11121Ab（1）求A的满秩分解；（2）求A；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解；（4）求Axb的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解．解：（1）101010101111AFG………….6分2/3(2)54114519112A………….6分(3)21123TbAbA,方程组无解；………….4分（4）极小范数最小二乘解为021129TbxA………….4分四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明205141011210Ai有三互异特征值。解：取(1,1,3)Ddiag，则1BDAD的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值.………….10分五、（10分）用LU分解求解方程组1234102040101312431301035xxxx解:102011020010101101124312121010301012………….5分求解得到(2,2,1,1)Tx………….5分六、（10分）利用幂法计算矩阵1319的按模最大特征值及对应特征向量。（取初始向量(1,1)T,结果保留4位有效数字）解:max8.6055,特征向量(0.3945,1)T…………10分3/3七、（15分）已知308316,205A（1）求Ate；（2）求()dxtAxdt满足1(0)11x的解。解:(1)3det()(1)IA,设2()rabc,有2222122212tttttttttateabceabtebteteatecetete…………5分214083162014AtttteaAbAcIetttt…………5分112()(0)1916Attxtextt…………5分八、（8分）对于,nnAxbAR为对称正定矩阵，试述求解该线性方程组的极小化方法的基本算法思想，并比较最俗下降法与共轭梯度法之间的联系与区别。解:要点:变分原理…………4分区别:方向不同,一个是负梯度方向,一个是A-共轭方向;…………4分