微积分公式与定积分计算练习题

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式⑴0c⑵1xx⑶sincosxx⑷cossinxx⑸2tansecxx⑹2cotcscxx⑺secsectanxxx⑻csccsccotxxx⑼xxee⑽lnxxaaa⑾1lnxx⑿1loglnxaxa⒀21arcsin1xx⒁21arccos1xx⒂21arctan1xx⒃21arccot1xx⒄1x⒅12xx二、导数的四则运算法则uvuvuvuvuv2uuvuvvv三、高阶导数的运算法则（1）nnnuxvxuxvx（2）nncuxcux（3）nnnuaxbauaxb（4）()0nnnkkknkuxvxcuxvx四、基本初等函数的n阶导数公式（1）!nnxn（2）naxbnaxbeae(3)lnnxxnaaa(4)sinsin2nnaxbaaxbn(5)coscos2nnaxbaaxbn(6)11!1nnnnanaxbaxb(7)11!ln1nnnnanaxbaxb五、微分公式与微分运算法则⑴0dc⑵1dxxdx⑶sincosdxxdx⑷cossindxxdx⑸2tansecdxxdx⑹2cotcscdxxdx⑺secsectandxxxdx⑻csccsccotdxxxdx⑼xxdeedx⑽lnxxdaaadx⑾1lndxdxx⑿1loglnxaddxxa⒀21arcsin1dxdxx⒁21arccos1dxdxx⒂21arctan1dxdxx⒃21arccot1dxdxx六、微分运算法则⑴duvdudv⑵dcucdu⑶duvvduudv⑷2uvduudvdvv七、基本积分公式⑴kdxkxc⑵11xxdxc⑶lndxxcx⑷lnxxaadxca⑸xxedxec⑹cossinxdxxc⑺sincosxdxxc⑻221sectancosdxxdxxcx⑼221csccotsinxdxxcx⑽21arctan1dxxcx⑾21arcsin1dxxcx八、补充积分公式tanlncosxdxxccotlnsinxdxxcseclnsectanxdxxxccsclncsccotxdxxxc2211arctanxdxcaxaa2211ln2xadxcxaaxa221arcsinxdxcaax22221lndxxxacxa九、下列常用凑微分公式积分型换元公式1faxbdxfaxbdaxbauaxb11fxxdxfxdxux1lnlnlnfxdxfxdxxlnuxxxxxfeedxfedexue1lnxxxxfaadxfadaaxuasincossinsinfxxdxfxdxsinuxcossincoscosfxxdxfxdxcosux2tansectantanfxxdxfxdxtanux2cotcsccotcotfxxdxfxdxcotux21arctanarcnarcn1fxdxftaxdtaxxarctanux21arcsinarcsinarcsin1fxdxfxdxxarcsinux十、分部积分法公式⑴形如naxxedx，令nux，axdvedx形如sinnxxdx令nux，sindvxdx形如cosnxxdx令nux，cosdvxdx⑵形如arctannxxdx，令arctanux，ndvxdx形如lnnxxdx，令lnux，ndvxdx⑶形如sinaxexdx，cosaxexdx令,sin,cosaxuexx均可。十一、第二换元积分法中的三角换元公式(1)22axsinxat(2)22axtanxat(3)22xasecxat【特殊角的三角函数值】（1）sin00（2）1sin62（3）3sin32（4）sin12（5）sin0（1）cos01（2）3cos62（3）1cos32（4）cos02（5）cos1（1）tan00（2）3tan63（3）tan33（4）tan2不存在（5）tan0（1）cot0不存在（2）cot36（3）3cot33（4）cot02（5）cot不存在十二、重要公式（1）0sinlim1xxx（2）10lim1xxxe（3）lim()1nnaao（4）lim1nnn（5）limarctan2xx（6）limtan2xarcx（7）limarccot0xx（8）limarccotxx（9）lim0xxe（10）limxxe（11）0lim1xxx（12）00101101lim0nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm（系数不为0的情况）十三、下列常用等价无穷小关系（0x）sinxxtanxxarcsinxxarctanxx211cos2xxln1xx1xex1lnxaxa11xx十四、三角函数公式1.两角和公式sin()sincoscossinABABABsin()sincoscossinABABABcos()coscossinsinABABABcos()coscossinsinABABABtantantan()1tantanABABABtantantan()1tantanABABABcotcot1cot()cotcotABABBAcotcot1cot()cotcotABABBA2.二倍角公式sin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA22tantan21tanAAA3.半角公式1cossin22AA1coscos22AA1cossintan21cos1cosAAAAA1cossincot21cos1cosAAAAA4.和差化积公式sinsin2sincos22abababsinsin2cossin22abababcoscos2coscos22abababcoscos2sinsin22abababsintantancoscosababab5.积化和差公式1sinsincoscos2ababab1coscoscoscos2ababab1sincossinsin2ababab1cossinsinsin2ababab6.万能公式22tan2sin1tan2aaa221tan2cos1tan2aaa22tan2tan1tan2aaa7.平方关系22sincos1xx22secn1xtax22csccot1xx8.倒数关系tancot1xxseccos1xxcsin1csxx9.商数关系sintancosxxxcoscotsinxxx十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：dyfxgydx，11220fxgydxfxgydy2.齐次微分方程：dyyfdxx3.一阶线性非齐次微分方程：dypxyQxdx解为：pxdxpxdxyeQxedxc高考定积分应用常见题型大全一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2C．3﹣ln2D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．88．∫01exdx与∫01exdx相比有关系式（）A．∫01exdx＜∫01exdxB．∫01exdx＞∫01exdxC．（∫01exdx）2=∫01exdxD．∫01exdx=∫01exdx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜bB．a＞bC．a=bD．a+b=010．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣eB．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5D．6.514．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2B．1C．2D．3/216．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16B．18C．20D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．501974专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山