《随机过程及其在金融领域中的应用》习题八答案

第八章习题81、设,1nXn是相互独立的随机变量序列，1nEX，令1nniiZX，证明,1nZn是鞅。证明：,1nXn是相互独立的随机变量序列，且11,nnniiEXZX112,,,,nnnnEZEZXXXZ，nZ是12,,,nXXX的函数，所以综上，,1nZn关于,1nXn为鞅，简称,1nZn为鞅。2、设,1nXn是二阶矩存在的鞅，令2nFnEX，证明1221212nnEXXFnFnnn证明：1212121221212212122222212222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnFnFnEXEXEXXEXXXXXEXXXXXEXXEXXX由于,1nXn是二阶矩存在的鞅，所以101,,,nnnEXXXXX，又12nn，12nnEXX所以122220nnnEXXX，所以12212nnFnFnEXX所以1221212nnEXXFnFnnn3、设,0nXn是鞅，2nEX。（1）证明：鞅差100,1nnnYXXnYX正交，即0ijEYYij。（2）证明：对于任意正整数klm，差mlXX与kX不相关，即0mlkEXXX。证明：（1）11111111110ijiijjijijijijijijijijijijijijEYYEXXXXEXXXXXXXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXXEXX所以鞅差100,1nnnYXXnYX正交。（2）mlkmklkmklkEXXXEXXXXEXXEXX由（1）知，0,0ijmklkEXXEXXEXX所以对任意正整数klm，差mlXX与kX不相关。4、对鞅,1nXn，令100iiiYXXX。证明1nniiVarXVarY证明：22111iiiiiiiVarYVarXXEXXEXX又因为1nnEXEX，所以1iiEXEX所以22211122221122221112iiiiiiiiiiiiiiiiiVarYEXXEXEXEXEXEXEXEXEXEXEXEXEXVarXVarX所以11021111210nniiiiinnnnnnVarYVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarXVarX5、设,0nXn是独立增量随机过程，20nEXn，试举出由,0nXn构造的鞅、上鞅和下鞅。答：由题意知，,0nXn是独立增量随机过程，且20nEXn则2nnEXEX，又0n，若112,,,nnnEYXXXY则,0nYn是,0nXn的鞅，则可举出，,0nnnYXEXn是,0nXn构成的鞅，同理，由2nEX，则2nnEXEX又上鞅需满足112,,,nnnEYXXXY，下鞅需满足112,,,nnnEYXXXY则2=,0nnnTXEXn是,0nXn构成的上鞅。2,0nnnZXEXn是,0nXn构成的下鞅，所以,0nnnYXEXn是,0nXn构成的鞅，2,0nnnZXEXn是下鞅，,0nZn是上鞅。6、设,0tXt是独立增量过程，且对每一个00,0,0ttEXX，又设20tsEXXFtFsst，Ft是t的非减函数。证明：2,0tXFtt是关于,0tsFXst的鞅。证明：由20tsEXXFtFsst得2220222222tststsststsstsEXXEXXEXXXXEXXEXXEXEXXFtFs从而对任意的0st，22222222ttstsstsstsssEXFtFsEXXXXXFsFtEXXXEXXFtXFtXFs所以2,0tXFtt是关于,0tsFXst的鞅。7、设,0nXn为随机序列，每个均值都存在，且满足1011,,,,0nnnnEXXXXXXn，其中0,0,1，求c，使得1001,nnnYcXXnYX是关于,0,0nkFXknn的鞅。答：鞅为满足如下条件的随机过程：在已知过程在时刻S之前的变化规律的条件下，过程在将来某一时刻t的期望值等于过程在时刻x的值。1011,,,nnnnEXXXXXX，则1nnnXXX要使1001,nnnYcXXnYX是关于,0,0nkFXknn的鞅，则1nnnEYEcXX，1c。8、设,ttXY是鞅，证明ttXY是鞅，min,ttXY是下鞅。证明：（1）因为,ttXY是鞅，所以由EX和EY，知ttEXY又112112,,,;,,,nnnnnnEXXXXXEYYYYYttsstsstsststsssEXYXYEXXYEYXYEXXEYYXY所以ttXY是鞅。（2）因为,ttXY是鞅，所以由EX和EY，知对,tEX，其中max,0Xx，同时，min,minmin,ttsstsstssssEXYXYEXXYEYXYXY所以min,ttXY是下鞅。9、设,0nXn是鞅，而,0ii由下式部分和确定，0nniiX。试证：对于任意,0ijjiE。证明：由题意知,0ii为关于,0nXn的鞅差序列而由鞅的定义可知101,,,0nnEXXX因而可知序列1n具有不相关性，所以当ji时，0ijijEEE10、设,1nXn是下鞅，令10U，112,,nniiiiUEXXXX，其中2n。试证：,1nUn是单调增过程，即1nnUU。证明：要证,1nUn是单调增过程，即1nnUU，即证10nnUU根据下鞅的性质11111122111=,,,,,,0nnnniiiiiiiinnnnnUUEXXXXEXXXXEXXXXXX所以10nnUU，即1nnUU11、设1nnkkSX关于,1nkFXkn是鞅，且2,1kEXpk。证明：对于任意0，1lim0nnPSn证明：由于nS关于nF是鞅，1112,,,nnnnnESFESXXXS又由条件期望的性质可知11nnnnESEESFES由此可知10nnnESESEX，又2,1kEXpk由大数定理可知1111lim1nnkknkkPXEXnn1lim1nnPSn1lim0nnPSn12、设Markov链,0nXn的状态空间为0,1,,N，转移概率为（1）1,,0,1,,jNjijNiipijNjNN。记,0nkFXkn，证明：,0nXn和1,01nnnnXNXYnN关于,0nFn是鞅。（2）2222,,0,1,,ijiNiNpijNjNjN。试确定使得,0nnnnXNXYn关于,0nFn是鞅。（3）如果,0nXn关于,0nFn是鞅，则状态0与N是吸收态。答：（1）1121111,,,nNNnnnnnnXjnnjjEXXXXEXXPXjXPXX1111211111111111111111,,,1111111nnnnnnNNnnnnnnnjjjNjNnnjnnNnnnjXNXEYXXXEXNjNjjNjjNjPYXPXjXNNNjNjXNXXXCYNNNN所以,0nXn和1,01nnnnXNXYnN关于,0nFn是鞅。（2）1111211111111221112,,,2121nnnnnnNNnnnnnnnjjjNjNnnNNiNnnjNXNXEYYYYEXjNjjNjjNjPYXPXjXjNjXNXCCNCN要使112,,,nnnEYYYYY，即2121NN所以，当2121NN时，,0nnnnXNXYn关于,0nFn是鞅。（3）由（1）可知，当1jNjjijNiipCjN，,0nXn关于,0nFn是鞅，并且当0i或N时，1iip，则状态0i和N是吸收态。13、设010,1,1,1,1,,0nnnkXUXUXnFXkn。又设0011,2,11nnknkkXYXYnX。证明：,0nYn关于,0nFn是鞅。证明：由于11,1nnXUX，则11,0nnXUX，11,0nnXUX2,1nnEYn且0n，1121nnknkkXYX则可知11nnnEYFY，且101,,,0nnEYXXX所以有,0nYn关于,0nFn是鞅。14、设,0nXn与,0nYn时鞅，且2200,,,1nnYXEXEYn，证明：111nnnkkkkkEXYEXXYY，2211nnkkkEXEXX证明：利用条件期望的投射性222minZLFEXEXFEXZ10021111111nnnnnnnnnkkkkkEXYEXXYYEXXYYEXXYYEXXYY222210211211nnnnkkkEXEXXEXXEXXEXX