画法几何之曲线曲面

1曲线曲面学习内容及学习重点学习内容：曲线的形成曲线的投影四心扁圆法学习重点：曲线的投影四心扁圆法曲线的形成及投影一、曲线的形成曲线可以看做是点运动的轨迹。平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。二、曲线的投影1.平面曲线的投影与平面曲线对投影面的相对位置有关。图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。（1）圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形（成为同样大小的圆）。（2）圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影不反映实形（变为椭圆）。（3）圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线（其长度等于直径）。2.空间曲线的投影在任何情况下都不会有直线，而是曲线，不能反映实际形状。HAⅠⅡⅢⅣⅤBa12345b绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。[例题]：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知圆心O的投影及直径D的长度。分析：所给平面P垂直于V面，对H面倾斜成α角，所以P面内的圆，在V面上的投影积聚成一直线并重合在Pv上，长度等于D；在H面上投影变形成为椭圆。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于V面的直径的投影，长度等于直径D；短轴是圆内一条平行于V面的直径的投影，长度等于直径Dcosα。PVoabdcc’a’(o’、b’)d’作图步骤1.过o’在Pv上截取o’c’=o’d’=D/2，得c’d’，即为所作圆周的正面投影2.再过o作铅垂联系线，并截取oa=ob=D/2，得长轴ab；3.过o作水平线与过c’和d’向下引的铅垂联系线相交，得短轴cd；4.最后用“四心扁圆法”作椭圆，即为所求圆周的水平投影D/2D/2三、四心扁圆法若已知椭圆的长、短轴的端点，可运用“四心扁圆法”近似地作出椭圆。作图步骤如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）曲面的形成和分类规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线段，也可以是曲线段；曲面的分类：按母线是直线还是曲线，曲面可分为：直纹面和曲线面；按母线的运动方式，曲面可分为：回转面和非回转面；按曲面的可展性，曲面可分为：可展曲面和不可展曲面；回转面和回转体母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，称为回转体。为在投影图上确定一曲面，需给出确定此曲面的各要素的投影。还必须画出曲面各外形轮廓线的投影。曲线的外形轮廓线：是该曲面在某一个投影方向上的最大范围线。不同投影方向，就有不同的外形轮廓线。它们在相应投影面上的投影，就是该曲面的各投影轮廓线；并且曲面的外形轮廓线还是曲面可见部分和不可见部分的分界线。图示的回转曲面，其母线是一段圆弧曲线。当母线绕轴旋转时，母线的每一个位置都叫素线；母线上每一个点都画出一个垂直于轴并且中心在此轴上圆，这种圆叫做纬圆。回转曲面实际上是由一系列素线或一系列纬圆组成。回转曲面回转曲面有如下两条特性：（1）经过轴的平面必和曲面相交于以轴为对称的两条素线；（2）垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。回转曲面水平投影：在H面上的投影是三个圆，其中：最大的一个圆（赤道圆)的投影；最小的一个圆是最小纬圆(喉圆)的投影；中间一个圆是曲面的上底圆的投影。(1)投影特点：正面投影：曲面的正面外形轮廓线N是位于过轴线的正平面上的两条素线，它们投影在V面上不变形，成为曲面正面投影的轮廓线n’。正面投影上垂直于轴线的直线是曲面上底圆的投影。(2)注意：曲面某一投影方向的轮廓线，对另外的投影方向就不处于轮廓线的位置，所以它在另外投影面上的投影不应画出来。如图，正面轮廓线在水平投影中就不画出。规定：回转曲面的轴线的正面(或侧面)投影用点划线画出；轴线的水平投影是一个点，即回转曲面水平投影——圆的中心，为确定这个中心，需作“十”字相交的两条点划线(叫做中心线)。轴线曲面立体的投影学习内容及学习重点学习内容：曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）学习重点：曲面立体的投影曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体，叫做曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上最常用的最简单的曲面立体，由于包围这种立体的曲面都属于回转曲面，所以又统称回转体。曲面立体的投影基本回转体曲面立体同平面立体的区别在于它有曲面。因此，画曲面立体的投影在于画出曲面的外形轮廓线的投影。回转体的投影画法：水平投影为一个圆。圆的半径等于圆柱的半径，圆心即为轴线的水平投影；正面和侧面投影均为相等的长方形，长方形的高等于圆柱的高，宽等于圆柱的直径。（1）圆柱体的组成两条平行线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆柱面。一、圆柱由圆柱面和上、下底面围成的立体，就是圆柱体。（2）圆柱的三面投影图OO1A1A12341″(3″)2″(4″)a″(a′)a1′2′3′4′在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。圆柱体表面上的线和点二、圆锥水平投影是一个圆（即圆锥底圆的水平投影），圆心即轴和锥顶的水平投影，半径等于底圆的半径；正面和侧面投影是相同的等腰三角形，此等腰三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥底圆的直径。（1）圆锥体的组成两条相交直线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆锥面。由圆锥面和底面组成的回转体就是圆锥体。（2）圆锥的三面投影图OO1A1A正面投影的轮廓素线是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影；侧面投影的轮廓素线是最前、最后的两条轮廓素线的投影。（3）轮廓线素线的投影（4）圆锥面上取点★纬圆法m纬圆半径如何取？mma′aa″（4）圆锥面上取点★素线法n过锥顶作一条素线。nna′aa″a′b′c′abc(a″)(b″)c″1″1″2′3′2″3″321圆锥体表面上的线和点三、球球的三面投影的轮廓线均为同样大小的圆。（1）球的形成球的表面可以看作是一个围绕着圆本身的一条直径旋转而成的回转表面。（2）球的三面投影图注意：球的三面投影的圆不是球面上同一个圆的投影。水平投影是最大纬圆（即赤道圆的投影），赤道圆把球体分成上下两半（上一半可见，下一半不可见）；（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断正面投影是平行于V面的素线的投影，此素线把球体分成前、后两半(前一半可见，后一半不可见；侧面投影是平行于W面的素线的投影，此素线把球体分成左、右两半(左一半可见，右一半不可见)。这三个圆的其他投影均都积聚成直线，重合在相应的中心线上。（4）球面取点（纬圆法）因为M点位在后半球面上，所以它的正面投影m不可见。mm（m）m″(m)m″abc(a′)(b′)(c′)a″b″(c″)n″n′n四、环水平投影轮廓线由赤道圆和喉圆的水平投影组成；正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，有半个是看不见的，画成虚线），两个小圆的两条公切线分别是环面最上和最下两个纬圆的正面投影。（1）环的形成环的表面可以是一个圆绕着与圆共面的，但位在此圆外的一条直线旋转而成。（2）环的三面投影图轴线母线（3）环面取点（纬圆法）m′m(a′)a(a″)五、单叶回转双曲面（1）单叶回转双曲面的形成（a）以双曲线为母线，绕其虚轴旋转而成。（b）以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成。（a）（b）（2）单叶回转双曲面的投影特点水平投影是两个同心圆，最小的圆即为喉圆的水平投影；正面投影是一条双曲线，它反映母线的实形。以双曲线为母线绕其虚轴旋转而成的回转面。（2）单叶回转双曲面的投影特点以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成回转曲面。平面和曲面立体相交学习内容及学习重点学习内容：平面和圆锥的相交形式及截交线画法平面和圆柱的相交形式及截交线画法平面和球的相交形式及截交线画法学习重点：平面和曲面立体相交截交线的画法辅助平面法平面和曲面立体相交，所得截交线在一般情况下是平面曲线。圆锥面截交线上的任意一个点(如图中的A点)，既可以看做是曲面的某一条素线（如直线SM）与截平面P的交点，又可以看做是曲面的其一个纬圆（如圆周L）与截平面P的交点。平面和平面立体相交，实质是求截交线。求作曲面立体截交线的问题本质如同曲面上定点，可采用纬圆法和素线法。当截平面为投影面的垂直面时，可以利用截平面的积聚性来求交点；当截平面为一段位置平面时，则需要过所选择的素线或纬圆作辅助平面来求交点。用素线法或纬圆法求出这些交点以后，再把它们依次光滑地连接起来，就得到所求的截交线。实际作图时，为了能够根据少量的点，达到比较精确的作图，首先需要求出控制截交线形状的那些特殊点。㈠回转体截交线性质1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。回转体截交线的求解方法与步骤1、空间分析分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定回转体截交线的形状。2、投影分析分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。3、投影作图若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的地方补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。4、整理回转体轮廓线检查回转体被截切后的轮廓素线。依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：圆矩形椭圆1、圆柱体的截交线完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析分析截平面与立体的相对位置——水平面截切，截交线为矩形；——侧平面截切为圆弧。2、投影分析分析截平面与投影面的相对位置。1′3′2′4′3、投影作图4、整理轮廓素线——截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；——截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；1〞2〞3〞4〞1234作出圆柱体被截切后的水平投影。c′d′d〞c〞a〞b〞ab1、空间分析分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状——椭圆。2、投影分析截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。3、投影作图4、整理轮廓线a′b′dc【例题3】分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性1、当＜45°截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；＜45°＞45°＝45°2、当＞45°截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆；完成圆柱体截切后的侧面投影。完成圆柱体截切后的侧面投影。完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五种：2、圆锥体的截交线完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影和侧面投影。2、投影作图运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。3、整理轮廓线完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。2、投影作图运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。3、整理轮廓线完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。2、投影作图截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。3、整理轮廓线完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。1、空间与投影分析截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。2、投影作图分别