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2020年12月7日机械工程学院机自所动态室1现代信号处理技术及应用ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication何正嘉訾艳阳张西宁西安交通大学西安交通大学研究生创新教育系列教材2020年12月7日机械工程学院机自所动态室2第五章非平稳信号处理方法经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合,但不能恰当地反映非平稳信号的特征。许多随机过程从本质上来讲是非平稳的,例如语音信号、冲击响应信号、机组启、停机信号等。必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳信号分析方法的原理、特点及其在工程中的应用。2020年12月7日机械工程学院机自所动态室3第五章非平稳信号处理方法5.1短时傅里叶变换5.2小波变换5.3小波包信号分解与频带能量监测5.4工程应用2020年12月7日机械工程学院机自所动态室4第五章非平稳信号处理方法5.1短时傅里叶变换5.2小波变换5.3小波包信号分解与频带能量监测5.4工程应用2020年12月7日机械工程学院机自所动态室55.1短时傅里叶变换傅里叶变换用平稳的正弦波作为基函数,通过内积运算去变换信号,得到其频谱。(5.1.1)这一变换建立了一个从时域到频域的谱分析通道。频谱X(f)显示了用正弦基函数分解出x(t)中任一正弦频率f的总强度。傅里叶谱分析提供了平均的频谱系数,只与频率f有关,而与时间t无关。傅里叶分析还要求所分析的随机过程是平稳的.1946年Gabor提出了窗口傅里叶变换,称为短时傅里叶变换(ShortTimeFourierTransform,STFT)。ftje2)(tx()Xf222()()()()d(),jftjftjftXfxtedtxtetxte2020年12月7日机械工程学院机自所动态室65.1短时傅里叶变换由加窗信号的傅里叶变换产生短时傅里叶变换。(5.1.2)是中心位于,高度为1、宽度有限的时窗函数,通过所观察到的信号的部分是。是STFT的基函数。)()(thtxftjftjftjxethtxtethtxtethtxfSTFT222*)(),(d)()(d)()(),()(th0)(th)(tx)()(thtxtx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ01ftjeth2)(2020年12月7日机械工程学院机自所动态室75.1短时傅里叶变换窗函数的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。(5.1.3)高斯窗函数的形状是:1,1/4,1/16)(th4221)(tGeth02020年12月7日机械工程学院机自所动态室85.1短时傅里叶变换给定窗函数和它的傅里叶变换,则带宽为(5.1.4)STFT的频率分辨率是。两个正弦波之间的频率间隔大于,则可区分这两个正弦波。STFT的时间分辨率是,有(5.1.5)两个脉冲的时间间隔大于,则可区分这两个脉冲。)(th)(fHfffHffHffd)(d)()(2222ffttthtthttd)(d)()(2222t2020年12月7日机械工程学院机自所动态室95.1短时傅里叶变换时间分辨率和频率分辨率不可能同时任意小,根据Heisenberg不确定性原理,有以下限制(5.1.6)上式中,当且仅当采用了高斯窗函数,等式成立。时间分辨率和频率分辨率一旦确定,则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号,其基础是傅里叶变换,更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。反映信号高频成份需要用窄时窗,而反映信号低频成份需要用宽时窗。短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。ft41ft2020年12月7日机械工程学院机自所动态室10第五章非平稳信号处理方法5.1短时傅里叶变换5.2小波变换5.3小波包信号分解与频带能量监测5.4工程应用2020年12月7日机械工程学院机自所动态室115.2小波变换近年来在工具和方法上有重大突破的小波变换,为非平稳信号分析展示了美好的前景。“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零,波形具有衰减性;“波”则是指它具有波动性,包含有频率的特性。小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。1910年A.Haar提出的规范正交系1984年,J.Morlet在分析地震数据的局部性时引进了小波概念。1986年,Y.Meyer构造出二进伸缩、平移小波基函数,掀起小波研究热潮。1987年,S.G.Mallat将多分辨思想引入小波分析,提出快速塔形算法。1988年,I.Daubechies构造了紧支集正交小波基,完善小波理论体系。1989到1991年,R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年,W.Sweldens提出第二代小波变换的概念和算法。近一个世纪,特别是近二十年来,小波理论和算法发展突飞猛进。为信号处理领域里各自独立开发的方法建立了一个统一的框架2020年12月7日机械工程学院机自所动态室125.2小波变换由基本小波或母小波通过伸缩a和平移b产生一个函数族称为小波。有(5.2.1)式中是尺度因子,,是时移因子。,波形收缩;,波形伸展。保证在不同的值下,即在小波函数的伸缩过程中能量保持相等。信号的小波变换为(5.2.2)小波变换是用小波基函数代替傅里叶变换中的基函数以及短时傅里叶变换中的基函数而进行的内积运算。小波变换的实质就是以基函数的形式将信号分解为不同频带的子信号。()t)(,tababtatab2/1,)(a0ab1a1a)(tx2/1aa()tftje2ftjeth2)()(txabt)(),(d)()(),(,*2/1ttxtabttxaabWTabx2020年12月7日机械工程学院机自所动态室135.2小波变换对信号进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移因子变化去观察信号。小波变换的局部化是变化的,在高频处时间分辨率高,频率分辨率低;在低频处时间分辨率低,频率分辨率高,即具有“变焦”的性质,也就是具有自适应窗的性质。)(tx尺度时宽减小(频宽增大)时宽增大(频宽减小)t平移bcc′d′da2020年12月7日机械工程学院机自所动态室145.2小波变换式(5.2.2)通过变量置换可改写为(5.2.3)随着尺度因子的改变,通过一个恒定的滤波器观察到被伸展或压缩了的信号波形。尺度因子解释了信号在变换过程中尺度的变化,用大尺度可观察信号的总体,用小尺度可观察信号的细节。式(5.2.3)解释了为什么在S.G.Mallat的小波信号分解塔形快速算法中,始终使用同样的低通与高通滤波器的道理。a)/(abt)(atx)(),(d)()(),(2/1*2/1abtatxatabtatxaabWTx2020年12月7日机械工程学院机自所动态室155.2小波变换小波函数族还可采用如下定义:(5.2.4)优点是在不同尺度下可以保持各的频谱中幅频特性大小一致。因为设的傅里叶变换是,则的傅里叶变换是与相比,只有频率坐标比例变化,幅度没有变化。参见p48性质(4)abtatab1)(,)(,tab)(t)()()(1aaaa)()/(1ata2020年12月7日机械工程学院机自所动态室165.2小波变换式(5.2.2)的内积运算可以用卷积运算来表示。这是因为内积:5.2.4)卷积:或记作两式相比较,只是将改成,即首尾对调。如果是关于的对称函数,则计算结果无区别;如果是非对称,在计算方法上也无本质区别。tttxttxd)()()(),(*d)()()()(*txttxtttxd)()(*)(t)]([)(tt)(t)(t0t2020年12月7日机械工程学院机自所动态室175.2小波变换当机器发生故障时,信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问题,往往使传统的信号分析技术无能为力。小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。特别要强调,这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波基函数的正交性。2020年12月7日机械工程学院机自所动态室185.2小波变换5.2.1多分辨分析及其工程意义在平方可积实数空间的多分辨分析是指存在一系列的闭子空间,(代表分辨率为的多分辨分析子空间)是在中的正交补空间。这些子空间具有以下性质:1)一致单调性:(5.2.7)性质1)表明分辨率为的子空间中的逼近信号包含了分辨率为的子空间的信息以及分辨率低于的所有信息。这也称为因果性质。2)渐近完全性:(5.2.8)性质2)表明所有子空间组成函数空间。随着分辨率的提高,逼近信号就更接近原始信号;反之,随着分辨率的降低,逼近信号所包含的信息就越来越少。因此,在以分辨率为时得到的逼近信号与原始信号相比较,将会丢失部分信息。)(2RLZjjVjWjV1jV;101VVVjVj212j1jVj2jVj2);(2RLVZjj;0ZjjV)(2RLj22020年12月7日机械工程学院机自所动态室195.2小波变换5.2.1多分辨分析及其工程意义3)伸缩规则性:(5.2.9)性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到,在不同的分辨率时,逼近运算相同。4)平移不变性:(5.2.10)性质4)表明子空间信号在时间上平移,信号仍在该子空间,分辨率不变。5)正交补全性:(5.2.11)符号表示“正交和”。是尺度函数空间,是小波函数空间,它们相互正交,即⊥。,尺度函数与小波函数正交,内积(5.2.13)反复使用式(5.2.11)和关系⊥,得到小波逼近空间表达式(5.2.13);,)2()(1ZjVtxVtxjj;,)()(ZjVktxVtxjj;,1ZjWVVjjjjVjWjVjW0j0V)(t0W)(t)()(),(lkktltjVjWjZj1012)(2020年12月7日机械工程学院机自所动态室205.2小波变换5.2.1多分辨分析及其工程意义6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。同样使构成的Riesz基(5.2.12)性质6)指存在正常数,有,对于任意序列(表示所有双无限平方可求和序列空间)满足(5.2.15)上式是的有界性条件,A和B分别称为Riesz基下界和上界。根据式(5.2.9)的伸缩规则性,如果是空间的Riesz基,则是空间的Riesz基。Riesz基的特点是它的元素线性独立,没有冗余的元素。就能保证小波的冗余度尽可能小,这对信号的特征提取十分有利。0)(VtZkkt)(0VZkjkt)2(jVBA,2lcZkk2lZkZkkZkkkcBktccA2222)(BA0Zkkt)(BA0Zkkt)(0VZkjkt)2(jV)(,tkj2020年12月7日机械工程学院机自所动态室215.2小波变换5.2.1多分辨分析及其工程意义基于多分辨分析逼近空间和细节空间的频带范围。设空间中信号属于子空间,的频谱区间为,则………………小波变换的多分辨分析将信号分解到互相衔接的频带和中。选定或子空间中的分解信号,相当于获得了浓缩的故障诊断信息,具有理想的工程实用价值。)(2RL
本文标题:现代信号处理第5章-非平稳信号处理方法
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