小学数学中主要的数学模型

小学数学中主要的数学模型王永春一、对数学模型的认识数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。在义务教育阶段，用字母、数字及其他数学符号表达的数学的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。数学模型思想是基本的数学思想之一，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表、图形，因而它与符号化方法有很多相似之处。二、数学模型的重要性数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型方法在数学方法中有非常重要的地位。如果说符号化方法更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。2011版课标与原课标相比有了较大变化，在课程内容的十大核心概念中是唯一以“思想”出现的，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。模型思想是数学的基本思想之一。2011版课标在总目标中指出：经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。总之，培养学生的模型思想，有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。当学生理解并掌握了各种基本的数学模型后，面对变化多端的数学问题时，可以利用已有的模型求解，把握数学的本质，而不至于被各种杂乱的表面信息所迷惑。三、模型思想的教学１.使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。体现了《标准2011》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这个过程与问题解决的过程有相似之处。2.重视对数学模型的解构、表征和变式。“建立数学模型应该是提取加还原的过程”[1]也就是说在让学生经历建模的过程后，还要注重模型的多种表征形式，包括模型的还原、生活化。这样有利于培养学生建模的能力。如用方程解决问题就是一个建模的过程。陈千举老师《方程》一课体现了这一理念。[1]吴正宪、张秋爽《对数学核心概念的思考》，2012年《课程教材教法》增刊。３.数学建模能力的培养是一个长期的过程。低年级学生的基础知识目标达到的水平、语言理解水平、思维水平、生活经验等各方面因素都决定了学生的建模能力培养的艰巨性、长期性。低年级的数学模型主要是应用加、减、乘、除及混合运算解决简单的实际问题，重点是让学生理解和掌握四则运算的概念，这是培养学生模型思想的基础。传统上，应用题按类型进行教学，让学生死记硬背一些关键词和公式。这样做的结果是没有抓住问题的核心，没有真正培养分析问题、解决问题的能力，及抽象思维能力。长期以来，我国的基础数学教育有一个重视训练技能的传统，这是对的。但是一定要建立在基础知识扎实的基础上，这是最重要的。磨刀不误砍柴工，在基础知识扎实基础上的技能训练能够事半功倍；否则反之，有些老师进行题海训练但成绩不理想，道理就在于此。基础知识包括：概念、法则、性质、定律、公式等。要让学生达到：了解→理解→掌握→运用的水平。再让学生经历、体验、探索数学模型构建的过程。以加法为例，学生对加法的理解有一个逐步抽象概括的过程。加法的情境和题型非常丰富，从开始的两个数相加，用６、７的加法解决问题，10以内的连加，３个数相加打破了加法是熟悉情境的传统。需要从加法的概念入手，去理解用加法计算的道理。一下：同数相加的加法二上：求比一个数多几的数。二上：连续两问的问题。二上：多个数相加。案例１：二年级１班男生有26人，女生有29人。二年级１班一共有多少学生？案例２：二年级１班男生有26人，女生比男生多３人。二年级１班有多少女生？案例３：二年级１班男生有26人，男生比女生少３人。二年级１班有多少女生？第３题传统上是反叙的应用题，难度较大，低年级不再编排。同时说明有部分学生对加法的概念还没有达到理解和掌握的水平。实际上即使用方程解决此类问题，也需要学生理解“男生比女生少３人”这句话，才能正确列出方程。需要学生理解各种生活语言，不仅仅是看到一共用加法，如前面案例，再转化为数学语言：a＋b＋c＋…＝最后抽象概括出“把若干个数合并成一个数的运算，就是加法”。再比如等式的性质，如何做到真正理解和掌握。有些老师会问形如a－x=b,a÷x=b的方程如何解。说明对等式的性质还没有完全理解和掌握，等式的性质中说的数可以是已知数，也可以是未知数。4．数学建模可分为以下几个层次。第一，学生可以经历构建模型的探索过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家、物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体质量的反比，即Ｆ1：Ｆ2＝Ｌ2：L1。在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。再如各种图形的周长、面积、体积公式的探索，运算定律的探索等等。第二，有些数学模型，由学生进行探索是有难度的。如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较抽象，不适合学生进行探索。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。再如反比例关系等，让学生进行实验探究也是有难度的，可借助表格的数据让学生发现规律，理解概念。第三，应用已经掌握的模型解决问题。前面两条说的是新知识的学习，第3条说的是学生学习了教材上的各种基本模型以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，能够举一反三。如方程、正比例、反比例、植树问题、鸡兔同笼、找次品、抽屉原理等。以植树问题为例，可以封闭圆圈植树为核心模型，演变出其他模型。点与间隔一一对应，长度÷间隔=棵数。再根据实际情况演变出其他模型。一端栽一端不栽：长度÷间隔=棵数两端都栽：长度÷间隔+1=棵数两端都不栽：长度÷间隔－1=棵数四、小学数学中主要的数学模型(一)数与代数1.用数字和图形表示有规律的数列或图形。一下，找规律找规律，填数。1，6，11，16，21，，…。这列数中小于100的最大数是，第n项是。y＝5n+1，96。一个一个地加是算术思维，建模是代数思维。低年级让学生感受、了解数学模型，在高年级，注意从算术思维到代数思维的过渡，培养代数思维。2.数的运算。a+b=c，c－a=b,c－b＝a，a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b,c÷b＝a四则运算关系式是小学数学最基本的数学模型，其他很多模型都是在此基础上的进一步发展。加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac运算律的探索过程也是建模的过程。3.数量关系式。时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np工效×时间＝工作总量单产×面积=总产耗油量/千米×千米数=总耗油量消耗量/天×天数=总消耗量合格率=合格产品数÷产品总数×100%发芽率=发芽种子数÷种子总数×100%出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%以上数量关系式的变式也很重要，可以培养学生的逻辑思维和辩证思维能力。速度一定：路程／时间＝定值单价一定：总价／数量＝定值工效一定：工作总量／时间＝定值单产一定：总产／面积=定值耗油量/千米一定：总耗油量／千米数=定值下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较，现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限度地整合丰富多彩的问题。以s＝vt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师自己编题。案例1：甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是高铁，每小时比动车快105千米，上午8时出发，几时到达？分析：(1)此题是生活中的实际问题，属于时间、速度、路程的问题，要解决的问题是求高铁的运行时间,t=s÷v。(2)S不变，v比原来大，可用t1=s÷(v+a)的数学模型。(3)根据题中的信息,v=700÷4=175，a=105。所以v+a=175+105=280。则t1=700÷280＝2.5。(4)高铁8时出发，10:30到达。案例2：甲乙两地相距1200米，王老师以每分80米的速度从甲地向乙地步行，同时一只狗以每分120米的速度从甲地向乙地跑去，到达乙地后立即往回跑，与王老师相遇后，继续重复以上动作，直到王老师到达乙地为止。这只狗一共跑了多少米？分析：这道题的本质是关于s、v、t之间的数量关系，s=vt这一模型。求的是狗的s，v已经知道了，需要先求出t；表面上看狗跑来跑去不知如何计算路程，实际上狗跑的时间与王老师走的时间是相等的。很显然，王老师走的时间很容易求出来。t＝1200÷80＝15(分)s＝120×15=1800(米)4.用字母表示数、代数式、方程、函数。ax+b=c正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k(1)方程和函数的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，将二者放在一起进行讨论。①方程。含有未知数的等式叫方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。②函数。设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系ƒ，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝ƒ(χ)。其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域，y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr²h。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。(2)方程和函数的关系。从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的确定的常量以及它们之间的数量关系。方程研究确定的常量和未知的常量或变量之间的数量关系。函数研究变量之间的数量关系。方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。如一元一次方程中的未知数是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是变量，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如2χ－4＝6。而函数至少要有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等，如集合Ａ为大于等于1、小于等于10的整数，集合Ｂ为小于等于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y＝2χ表