概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章讲解

1第七章假设检验7.1设总体2(,)N，其中参数，2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H；（2）0:0,1H；（3）0:3,1H；（4）0:03H；（5）0:0H.解：（1）是简单假设，其余位复合假设7.2设1225,,,取自正态总体(,9)N，其中参数未知，x是子样均值，如对检验问题0010:,:HH取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}cxxxxc，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05解：因为(,9)N，故9(,)25N在0H成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053cPcPc55()0.975,1.9633cc，所以c=1.176。7.3设子样1225,,,取自正态总体20(,)N，20已知，对假设检验0010:,:HH，取临界域12n0{(,,,):|}cxxxc，（1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它们之间的关系；（2）设0=0.05，20=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二类错误的概率。解：（1）在0H成立的条件下，200(,)nN，此时00000000()cPcPnn2所以，0010cn，由此式解出0010cn在1H成立的条件下，20(,)nN，此时010100010000010()()()()cPcPnncnnnn由此可知，当增加时，1减小，从而减小；反之当减少时，则增加。（2）不犯第二类错误的概率为01000.9511()0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274n7.4设一个单一观测的子样取自分布密度函数为()fx的母体，对()fx考虑统计假设：0011101201:():()00xxxHfxHfx其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min，并求其最小值。解设检验函数为1()0xcx其他（c为检验的拒绝域）0101011100102()2()()2[1()]()2[1()]()2(12())2(14)()PxcPxcPxcPxcExExxdxxxdxxxdx要使2min，当140x时，()0x3当140x时，()1x所以检验函数应取114()104xxx，此时，10722(14)8xdx。7.5设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?解总体2(,150)N，对假设，0:1600H，采用U检验法，在0H为真时，检验统计量00-1.2578xun临界值1/20.9751.96uu1/2||uu，故接受0H。7.6某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。解设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则E未知，2(0.06)D，假设为0:2.64H，统计量0-3.33un由于1-/20.9952.10||uuu，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。7.7有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：实验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？解此问题可以归结为判断12xx是否服从正态分布2(0,)N，其中2未知，即要检验假设0:0H。由t检验的统计量0*0.1080.3890.727ntns4取=0.10，又由于，0.95(7)1.8946||tt，故接受0H7.8某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根，每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根，根方差为0.16，问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及2*2ns0.16，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验01:0.973:0.973HEHE由于D未知，且n较大，用t检验，统计量为0*0.9940.9732001.8560.16ntns查表知0.95t(199)1.645，故拒绝原假设，不能推广。7.9在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为1210(,,,)xxx，1210(,,,)yyy，假设作物产量服从正态分布，并计算得30.97x，21.79y，*26.7xs，*12.1ys取显著性水平0.01，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？解甲作物产量211(,)N，乙作物产量222(,)N，即要检验012:H由于21，22未知，要用两子样t检验来检验假设'22012:H，由F检验，统计量为2*2*22120.99526.74.869(9,9)6.5412.1FssF（取显著性水平0.01）故接受假设'22012:H，于是对于要检验的假设012:H取统计量1212*2*2121122(2)0.99(1)(1)nnnnxytnnnsns又0.01时，0.995(18)2.878||tt，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。7.10有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm）：甲20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0。19.6，19.9乙19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2。5试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为0.05。解：假定甲产品直径服从211(,)N，由子样观察值计算得20.00x，1*22(0.3207)0.1029ns。乙产品直径服从222(,)N，由子样观察值计算得20.00y，2*20.3967ns。要比较两台机床加工的精度，既要检验22012:H由F-检验12*2*20.10290.25940.3967nFnss0.05时查表得：0.975(7.6)5.70F，0.0250.97511(7.6)0.1953(6.7)5.12FF由于0.0250.975(7.6)(7.6)FFF，所以接受0H，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。7.11随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm）2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值的90%的置信区间（1）0.01cm；（2）未知解（1）由子样函数(0,1)UnN，0.95(||)0.90pUu，可求的置信区间置信下限0.952.121un置信上限0.952.129un（2）在未知时，由子样函数*(1)ntntns，0.95(||(1))0.90pttn可求得置信区间为6置信下限*0.95(15)2.1175ntsn置信上限*0.95(15)2.1325ntsn7.12包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为9.910.110.310.410.510.29.79.810.110.09.810.3假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为95%的区间估计。解由于未知，用统计量*(1)ntntns，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为*0.975(11)10.2556ntsn，下限为*0.975(11)9.9284ntsn7.13随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计*211ns（米/秒）2，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差和方差2的置信水平为90%的置信区间。解选取统计量*222(1)(1)nnsn，可得2的置信区间为：*2*2221/2/2(1)(1)(,)(5.6749,32.199)(1)(1)nnnsnsnn因为***2*2222221/2/21/2/2(1)(1)(1)(1)()()(1)(1)(1)(1)1nnnnnsnsnsnsppnnnn故，标准差的置信区间取方差的根方即可。7.14假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：01:(1)(2)(6)6Hppp。解：用2拟合优度检验，如果0H成立26221()(5)iiiinnpnp列表计算2的观察值：7组数i频数ininpiinnp2/iiinnpnp123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6215.6，20.95(5)=11.07由于220.95(5)，所以拒绝0H。即等概率的假设不成立。7.15对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压3.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.8击穿频数11127884641试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和2拟合优度检验）。解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面2拟合优度检验假设20ˆˆ:(,)HN其中2ˆˆ,为和2的极大似然估计，其观察值ˆ4.3744x22211ˆ()0.04842nniisxxn所以要检验的假设0:(4.3744,0.04842)HN分组列表计算2统计量的观察值。8组距1ixix频数in标准化区间1iyiy1()()iiipyyinp2/iiinnpnp4.14.14.24.24.34.34.54.54.64.65781265-1.25-1.25-0.79-0.79-0.34-0.340.570.571.030.310.10560.10870.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521221()2.4852niiiinpnnp用0.1查表220.90.9(621)(3)6.251由于220.9(3)，所以不能否定正态分布的假设。7.16用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数ix：012345678910频数if：0