2019中考数学专题复习--二次函数与多边形存在性问题--解析版

二次函数与多边形存在性问题最经常遇到的中考压轴题，通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质；作图是第一步，注意多种情况分类讨论。解答题（共15小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形．3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．（1）求抛物线的解析式；（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G．（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tan∠ACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）．（1）求此函数的解析式和对称轴；（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．11．如图，二次函数y=x2+bx+c图象经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO=45°．（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．12．如图：已知，直线l1⊥l2，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1．（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使△PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．13．已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．华罗庚数学：中考第一讲二次函数与多边形存在性问题参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．（1）求这个二次函数解析式；（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点，∴解得∴二次函数的解析式为y=x2﹣x．（2）根据题意得：M1（3，1）、M2（﹣3，﹣1）、M3（5，﹣1）．2．已知在平面直角坐标系中有三个点，点A（0，3），B（﹣3，0），C（1，0）．（1）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（2）在平面直角坐标系中再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个平行四边形．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，得到a=﹣1，所以=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图，D点坐标为（4，3）或（﹣4，3）或（﹣2，﹣3）．3．如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．（1）求抛物线的解析式；（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．【解答】解：（1）由题意可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣3）．将C点坐标代入后可得：a（0+2）×（0﹣3）=3，a=﹣．因此抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣x2+x+3；（2）如图；存在这样的P点，且坐标为P（﹣1，2）理由：∵OB=OC，∠COB=90°∴∠CBO=∠OCB=45°∵OD⊥BC∴∠COD=∠BOD=45°因此E为直线y=x与抛物线的交点，因此有：解得：，即E点的坐标为（2，2）．若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=OB且EP∥OB，那么P点的坐标为（﹣1，2）．当x=1时，抛物线的值为y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣×1×（﹣4）=2因此P点在抛物线上．所以存在这样的P点，且坐标为（﹣1，2）．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三点，设该二次函数的顶点为G．（1）求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G的坐标；（2）求tan∠ACG的值；（3）如该二次函数的图象上有一点P，x轴上有一点E，问是否存在以A、G、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，∴解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，∴y=（x﹣2）2﹣1，∴顶点G（2，﹣1）．（2）G作GH⊥x轴于点H，GF⊥y轴于点F，∵G（2，﹣1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），∴CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理，得AC2=18，GC2=20，AG2=2∴△ACG是直角三角形，且∠CAG=90°，∴tan∠ACG==（3）当AG为边时，作GH⊥x轴于H，PN⊥x轴于点N∴∠PNE=∠GHA=90°∵四边形PEGA是平行四边形，∴PE=AG，∠PEA=∠GAE，∴△PNE≌△GHA，∴PN=GH=1，设P（m，1）∴m2﹣4m+3=1，∴m=2±，∴P（2±，1），当AG为对角线时，不可能．综上所述，点P的坐标为（2±，1），5．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3）将A、C、B点坐标代入、及对称轴，得，解得，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）2+4，得顶点坐标是（﹣1，4），由勾股定理，得AC2=32+（0﹣3）2=18，CD2=（0+1）2+（3﹣4）2=2，AD2=（﹣1+3）2+（（4﹣0）2=20，AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，S△ACD=AC•CD=××=3；（3）①如图1，平行四边形AQBP，由对角线互相平分，得P1（﹣1，4），Q（﹣1，﹣4）；②如图2，▱ABQP，PQ=AB=4，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=﹣25+10+3=﹣12，即P2（﹣5，﹣12）；③如图3，▱ABPQ，PQ=AB=4，P点的横坐标为﹣1+4=3，当x=3时，y=﹣9﹣6+3=﹣12，即P3（3，﹣12），综上所述：P1（﹣1，4），P2（﹣5，﹣12），P3（3，﹣12）．6．如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=﹣16+4b+3得：b=所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．当x=0时，y=3∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4﹣x，在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4﹣x）2解得：x=∴OP=4﹣=所以点P的坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）．7．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得△APM是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5；（2）令y=0，得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）；由于P是对称轴x=2上一点，连接AB，由于，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小；由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA+PB=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小值为BC；因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点；设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意可得解得所以直线BC的解析式为y=x﹣5；（9分）因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，﹣3）；（3）M（5，0）或（﹣1﹣，0）或（﹣1，0）或（2，0）．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于