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当前位置:首页 > 幼儿/小学教育 > 小学教育 > 第二章《轴对称图形》提高练习题(含答案)
《轴对称图形》提高练习题1.如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别是BC、AC上的点,∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE?写出你的推理过程.2.如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,CE=DA,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论:(1)AG=AD;(2)DF=EF;(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.3.在菱形ABCD中,∠B=60°,AC是对角线.(1)如图1,点E、F分别在边BC、CD上,且BE=CF.①求证:△ABE≌△ACF;②求证:△AEF是等边三角形.(2)若点E在BC的延长线上,在直线CD上是否存在点F,使△AEF是等边三角形?请证明你的结论(图2备用).4.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连接CE,DE.求证:EC=ED.5.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.6.如图,△ABC是等边三角形,过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D,连接AD,过点C作∠BCE=∠BAD,交AB的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)若CD=4,求AD的长.7.如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.(1)如图②,若M为AD边的中点,①△AEM的周长=cm;②求证:EP=AE+DP;(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.8.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.9.如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB=110°.(1)求证:△COD是等边三角形;(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.10.如图:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系;(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.参考答案1.考点:等腰三角形的性质.专题:压轴题;开放型.解答:当∠BAD=2∠CDE时,AD=AE。证明:若∠BAD=2∠CDE,设∠CDE=x,则∠BAD=2x,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠2=∠CDE+∠C,∠ADC=∠BAD+∠B,∴∠2=x+∠C,∠1+x=2x+∠B=2x+∠C,∴∠1=x+∠C=∠2,∴AD=AE.题1题2题32.考点:等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.专题:压轴题.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,∵DG⊥AC,∴∠AGD=90°,∠ADG=30°,∴AG=AD/2;(2)过点D作DH∥BC交AC于点H,∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=∠A=60°,∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,∴△ADH是等边三角形,∴DH=AD,∵AD=CE,∴DH=CE,在△DHF和△ECF中,△DHF≌△ECF(AAS),∴DF=EF;(3)∵△ABC是等边三角形,DG⊥AC,∴AG=GH,∴S△ADG=S△HDG,∵△DHF≌△ECF,∴S△DHF=S△ECF,∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.3.考点:等边三角形的判定;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.专题:压轴题;开放型.(1)证明:①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ACB=∠ACF,又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°,∴∠B=∠ACF,∵BE=CF,∴△ABE≌△ACF;②由△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠CAF+∠CAE=60°,即∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.(2)答:存在。证明:在CD延长线上取点F,使CF=BE,与(1)①同理可证△ABE≌△ACF,∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,∴∠CAF﹣∠CAE=∠BAE﹣∠CAE,∴∠EAF=∠BAC,∵∠BAC=60°,∴∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形.注:若在CD延长线上取点F,使CE=DF亦可.4.考点:等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.专题:证明题;压轴题.证明:延长BD至F,使DF=BC,连接EF,∵AE=BD,△ABC为等边三角形,∴BE=BF,∠B=60°,∴△BEF为等边三角形,∴∠F=60°,在△ECB和△EDF中,∴△ECB≌△EDF(SAS),∴EC=ED.题4题5题65.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.专题:压轴题;动点型.解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60°,∵∠BQD=30°,∴∠QPC=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∴QC=QB+BC=6+x,∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,∴PC=QC/2,即6﹣x=(6+x)/2,解得x=2,∴AP=2;(2)当点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.理由如下:作QF⊥AB,交直线AB于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°,∵点P、Q速度相同,∴AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,在△APE和△BQF中,∵∠AEP=∠BFQ=90°,∴∠APE=∠BQF,△APE≌△BQF(AAS),∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,∴四边形PEQF是平行四边形,∴DE=EF/2,∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=AB/2,又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3,∴点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.6.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.专题:计算题;证明题;压轴题.证明:(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∴∠5=60°.又∵∠5+∠CBE=180°,∴∠CBE=120°.又∵BD平分∠CBE,∴.∴∠5+∠3=∠4+∠3=120°.∴∠ABD=∠CBE.∵在△ABD和△CBE中,△ABD≌△CBE(ASA).∴BD=BE.(2)过D作DF⊥AE于F,∴∠DFB=∠DCB=90°,又∵∠CBD=∠FBD,BD=BD,∴△CBD≌△FBD(AAS).∴CB=BF,DF=CD=4.∵∠3=60°,∠BCD=90°,∴∠CDB=30°,∴设BC=x,则BD=2x,则42+x2=(2x)2,解得:x=,∵BD=BE,∴BD=,在直角三角形BCD中,∵∠BCD=90°,∴BC=,∴BF=BC=.∵AB=BC,∴AF=AB+BF=+=.直角三角形ADF中,AF=,DF=4.∴根据勾股定理可得出AD=.7.考点:翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定;矩形的性质;相似三角形的判定.专题:几何综合题;压轴题.解:(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°.①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM.∵AB=4,M是AD中点,∴△AEM的周长=4+2=6(cm);②现证明EP=AE+PD。方法一:取EP的中点G,则在梯形AEPD中,MG为中位线,∴MG=(AE+PD),在Rt△EMP中,MG为斜边EP的中线,∴MG=EP,∴EP=AE+PD.方法二:延长EM交CD延长线于Q点.∵∠A=∠MDQ=90°,AM=DM,∠AME=∠DMQ,∴△AME≌△DMQ.∴AE=DQ,EM=MQ.又∵∠EMP=∠B=90°,∴PM垂直平分EQ,有EP=PQ.∵PQ=PD+DQ,∴EP=AE+PD.(2)△PDM的周长保持不变.设AM=x,则MD=4﹣x.由折叠性质可知,EM=4﹣AE,在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,即AE2+x2=(4﹣AE)2,整理得:AE2+x2=16﹣8AE+AE2,∴AE=(16﹣x2),又∵∠EMP=90°,∴∠AME+∠DMP=90°.∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠DMP.又∵∠A=∠D,∴△PDM∽△MAE.∴∴C△PDM=C△MAE•=(4+x)•=8.∴△PDM的周长保持不变.题78.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,求DE的长.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的判定.菁优网版权所有专题:证明题;压轴题;探究型.分析:(1)利用已知条件,可证出△BCE≌△DCF(SAS),即CE=CF.(2)借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF,∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°,即∠GCF=∠GCE,又因为CE=CF,CG=CG,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设DE=x,利用(1)、(2)的结论,在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.解答:(1)证明:在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF.∴CE=CF.(2)解:GE=BE+GD成立.∵△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCF=∠GCE,GC=GC,∴△ECG≌△FCG.∴EG=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)解:过C作CG⊥AD,交AD延长线于G,在直角梯形ABCD中,∵AD∥BC,∠A=∠B=90°,又∠CGA=90°,AB=BC,∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC=12.已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,设DE=x,则DG=x﹣4,∴AD=AG﹣DG=16﹣x,AE=AB﹣BE=12﹣4=8.在Rt△AED中∵DE2=AD2+AE2,即x2=(16﹣x)2+82解得:x=10.∴DE=10.点评:本题是一道几何综合题,内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用,重点考查学生的数学学习能力,是一道好题.本题的设计由浅入深,循序渐进,考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看,本题的得分在4﹣8分的学生居多.前两个小题学生做得较好,第三小题,因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题,数学学习能力不强,造成本小题得分率较低.9.如图,点O是等边△ABC内一点.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.已知∠AOB=110°.(1)求证:△COD是
本文标题:第二章《轴对称图形》提高练习题(含答案)
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