大学课件 高等数学 下学期 10-2(可分离变量的微分方程)

一、一阶微分方程形式二、可分离变量的微分方程及其求解三、例题四、小结一、一阶微分方程形式首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例一阶微分方程：20yyx可以写成2xyy即2dyxdxy也可以写成20xdxydy一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,,0Fxyy（）(,)yfxy(,)(,)0PxydxQxydy（1）（2）（3）问题：如何求解一阶微分方程？难！问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程贝努利方程全微分方程二、可分离变量的微分方程及其求解如果一阶微分方程能化成(特点:左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx)（4）()()MydyNxdx的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的微分方程什么方程是可分离变量的微分方程呢？形如()()dyhxgydx（5）1212()()()()0PxPydxQxQydy（6）的一阶微分方程都是可分离变量的微分方程。或第二步：两边积分解法：第一步：分离变量()()dyhxdxgy或2121()()()()QyPxdydxPyQx()()dyhxdxgy或2121()()()()QyPxdydxPyQx()()dyhxdxgy针对()Gy和依次为()hx1()gy和的原函数，设()Hx为微分方程的解(又叫隐式通解)()()GyHxC则三、例题例1求微分方程2dyxydx的通解解原方程是一个可分离变量的方程；分离变量2dyxdxy两边积分2dyxdxy得：21lnyxC从而221CxxyeeCe（C任意常数），即2xyCe为所求通解。例2求解初值问题20|2xdxxydyydxydyy解原方程化为21(1)0ydxyxdy（）它是可分离变量方程分离变量211dxydyxy两边积分211dxydyxy得：211ln(1)ln(1)2xyC即：212ln(1)ln(1)2xyC记12lnCC则通解为22(1)(1)xCy将0|2xy代入上式，得13C故所求特解为223(1)1yx解设MMt＝（）由题设，有00(0)|tdMMdtMM这是一个可分离变量的方程。分离变量dMdtM例3衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭的质量M成正比，已知00|tMM，求各个时t的存镭量。刻两边积分dMdtM∴lnlnMtc，即tMce由初始条件00|tMM，得00Mcec∴0tMMe为所求例4求方程()()0fxyydxgxyxdy的通解。这是一个可分离变量方程。解令uxy，则duxdyydx()()0duydxfuydxguxx[()()]()0ufugudxgudux分离变量()1[()()]gududxufugux()1[()()]gududxufugux两边积分∴通解为()ln||[()()]guxducufugu本节学习内容是：1.可分离变量方程的“标准型”；四、小结2.分离变量法步骤：(1)分离变量;(2)两边积分;(3)求得隐式通解★重点掌握分离变量法。★难点对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程化为可分离变量方程。