大学课件 高等数学下册 7-2

第七章多元函数微分学第二节偏导数定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，也简称为偏导数记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.f'x(x0,y0)就是f'x(x,y),在点(x0,y0)的值.算f'x(x0,y0)可用3种方法.f'y(x0,y0)f'y(x,y)f'y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f'x(x,y0)f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).例1求yxzsin2的偏导数．解把看作常量，对求导数,得yxxzsin2yxyx把看作常量，对求导数,得yxyzcos2例2求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213例3设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．例3设22arcsinyxxz，求xz，yz.解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yyyzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：１.２.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf３.偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，两个偏导数都存在的二元函数未必连续偏导与连续的关系：4.偏导数的几何意义.),(tan)),(,,(),(.),(),(),(,),()),(,,(00000000000000000轴正向的夹角是切线与其中轴的斜率（如图），即关于处的切线就是这条曲线在点意义可知，偏导数由一元函数导数的几何相交的一条曲线与平面表示曲面，则看作常数中的若把上一点为曲面设xyxfxyxfyxMyxfyyyxfzyyyxfzyyyyxfzyxfzyxfyxMxxyxzoz=f(x,y)M0即f'x(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0x0.),(tan)),(,,(),(.),(),(),(000000000000轴正向的夹角是切线与其中轴的斜率（如图），即关于处的切线就是这条曲线在点意义可知，偏导数由一元函数导数的几何相交的一条曲线与平面表示曲面，则看作常数中的同理，若把yyxfyyxfyxMyxfxxyxfzxxyxfzxxxyxfzyyyxzoz=f(x,y)M022:z=f(x0,y)类似得f'y(x0,y0)的几何意义.如图即f'y(x0,y0)表示x=x0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2从几何上看,f'x(x0,y0)存在.只保证了一元函数f(x,y0)在x0连续.也即y=y0与z=f(x,y)的截线1在M0=(x0,y0,z0)是连续的.同理,f'y(x0,y0)存在.只保证了x=x0与z=f(x,y)的截线2在M0连续.而曲面z=f(x,y)在M0连续，是指换句话说,当(x,y)从任何方向,沿任何曲线趋于(x0，y0)时,f(x,y)的极限都是f(x0，y0).显然,上边两个条件都不能保证它成立.),(),(lim0000yxfyxfyyxx),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.0偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题思考题解答不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,