大学课件 高等数学下册 7-1

第七章多元函数微分学第一节多元函数理学院数学系主讲教师：付一平一、平面点集第一节多元函数坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E{(xy)|(xy)具有性质P}例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)|x2y2r2}或C{P||OP|r}其中P表示坐标为(xy)的点|OP|表示点P到原点O的距离设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，1.邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx(圆邻域)点0P的去心邻域，记为),(0PUo：0P),(0PUo||00PPP.)()(0|),(2020yyxxyx。).()(00PUPUo和时，简记为在无需指明领域的半径在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含.平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPE.EE的内点属于E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.内点、外点、边界点、聚点、孤立点：•内点•外点如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E则称P为E的外点•边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边界点•聚点如果点P的任一去心邻域内都含有属于E的点则称P点为E的聚点聚点本身可能属于E，也可能不属于E.•孤立点如果点P属于E，但不是E的聚点，即存在点P的一个领域U(P),使则称P是E的孤立点.,),(0EPUoD开集、闭集、连通集、区域、有界区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E的所有聚点都属于E,则称E为闭集；若集E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称E是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。对区域E,若存在正数K,使一切点PE与某定点A的距离APK,则称E为有界域,界域.否则称为无例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyoxyoxyo21xyo二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强球心在原点、半径为a的上半球面方程为hr设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有惟一确定的值Rz和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，简记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.其中x与y称为自变量，z称为因变量．自变量x与y的变化范围D称为函数f的定义域．并把数集}),(),,(|{)(DyxyxfzzDf称为函数f的值域.1.二元函数的定义例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD（2）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x，y取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:n元有序实数组的全体称为,Rnn维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第记作即RRRRn一个点,（3）n维空间n维空间,k个坐标.),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQ•n维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为•n维空间中两点间距离公式：设D是n维空间nR上的一个点集，如果对于每个点DxxxPn),,,(21，变量z按照一定的法则总有惟一确定的值Rz和它对应，则称f是定义在D上的n元函数，记为),,,(21nxxxfz（或记为)(Pfz）.点集D称为函数f的定义域．4.n元函数的定义例如三元函数)arcsin(222zyxu定义域为单位闭球定义3设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或),(),(00yyxxAyxf）.三、多元函数的极限说明：（2）定义中的方式是任意的；0PP（3）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）函数f在点P0可以有定义，也可以无定义；ff例2求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．ε要证注(1)二重极限存在,是指P以任何方式趋于P0时,函数都无限接近于A.(2)由此我们可以得到（i）找不同的趋近方式，如果极限值),(lim00yxfyyxx不同，则可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：),(lim00yxfyyxx（ii）如果存在一种),(),(000yxPyxP的方式，使得),(yxf不趋于确定值，则可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在.解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例3.讨论函数例4：证明：当时极限不存在.0,0,yxxy222222cos1,yxyxyxyxfyxfxyyx,lim)0,0(),(证明：取沿直线趋于原点的路径222222)0,0(),(cos1limyxyxyxxyyx62022cos1limxxx62202)2(21limxxx201limxx所以极限不存在.例5证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy263)0,0(),(3limyxyxkxyyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．例6求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2定义4设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为n元函数)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.与二元函数的极限类似，可以定义n元函数的极限定义5设函数),(yxf的定义域为点集,D),(000yxP是其聚点，且DP0，如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx则称函数在),(yxf点),(000yxP处连续.四、多元函数的连续性设函数),(yxf在D中每一点都连续，则称),(yxf在D中连续.如果),(yxf在点0P处不连续，则称0P是函数),(yxf的间断点.例7讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．解取,cosxsiny)0,0(),(fyxf)cos(sin3322)0,0(),(fyxf故函数在(0,0)处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0,2当时220yx例8讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必能取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上比能取得介于这两值之间的任何值．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元连续函数的和，差，积均连续.分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合函数也是连续的．（3）运算性质多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求例9.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.211.点集•邻域:,)δ,(0PU)δ,(0PU•区域•空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunR五、小结APfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δ00PP有ε)(APf3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题