大学课件 高等数学下册 7-4

第七章多元函数微分学第四节多元复合函数的求导法则一、多元复合函数求导的链式法则yxvuvuvufz,,,),(又是的函数，而是变量设因而),,(),,(yxvyxu.,的复合函数是yx的函数，即)],(),,([yxyxfz的导数？如何求复合函数)],(),,([yxyxfz定理,xvvzxuuzxz,),(),(),,(有偏导数在点设yxyxvyxu函数有连续偏导数，则复合在对应点),(vu有偏导数在点),(yx),(vufz而)],(),,([yxyxfz.yvvzyuuzyzuvxzy链式法则如图示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv证,),(),,(vuyxvyxuyxx，有相应的增量保持不变，则函数，而有增量设从而有有连续偏导数，在点由假设，函数),(),(vuvufz.00时的无穷小量，是当，其中vu.),(zzvufz也有相应的增量，从而而vuvvzuuzz除以上式，得以x0lim0lim00vuxyxvuxx，续的，即有的一元函数，它们是连，而作为定的偏导数存在，因此固对，而由于xvxuxvvzxuuzxz所以)(limlim00xvxuxvvzxuuzxzxxxvxuxvvzxuuzxxxxxx000000limlimlimlimlimlimxvxuxvvzxuuzvuvu0000limlim.xvvzxuuz同理可证.yvvzyuuzyz例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeu例2解.,),,(22yzxzxyyxfz求设.2,2vzxuzyyvvzyuuzyzvzyuzxxvvzxuuzxz若z=f(u,v,w)有连续偏导数，链式法则可推广到有多个中间变量的情况.例如有三个中间变量的情况则有偏导数在点，,),(),(),(yxyxwyxv),,(yxu而,xwwzxvvzxuuzxz,ywwzyvvzyuuzyzzwvuyx例3设fyxexfzxy，)ln,,(sin22具有连续偏导数，求xz和yz.多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有的公式都写出来，也没有必要，只要把握住函数间的复合关系，及函数对某个自变量求偏导时，应通过所有相关的中间变量，这一法则通常称为链式法则．比如：xzxvxuvufz就是则，而如果)(),(),,()1()).(),((xxfz的导数称为全导数，即对这时，xz.dxdvvzdxduuzdxdz的一元函数复合函数则而如果),,,(),()2(zyxuufw)),,((zyxfw的导数分别为对zyx,,,xududwxw,yududwyw.zududwzw则复合函数而如果),,(),,,()3(yxuyxufz的偏导数为),),,((yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别区别类似例4设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttet例5.,),(22yzxzxyxyz可微，求其中设例6.,,),,,(zuyuxufxyzxyxfu可微，求其中设.中间变量可不必写出合函数求导法则之后，在理解并熟练掌握了复例7.,),(),(22dxdzfxxyxyyxfu可微，求其中，设（见板书）二、复合函数的高阶偏导数.)),(),,((),(),(),(),(),(的二阶偏导数我们来求复合函数连续二阶偏导数，下面处有在对应的点二阶偏导数，而处有都在点与设yxyxfzvuvufzyxyxvyxu例8设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuff同理有,2f,11f.22fxwxvvfxuuf;21fyzfzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf例9.4,),(22222vuzyzxzfyxvyxuyxfz证明：具有二阶连续偏导数，其中，，设三、一阶全微分形式不变性.),(dvvzduuzdzvuvufz微分变量，总有全不论是自变量还是中间，具有连续偏导数，则设函数（1）如果u，v是自变量，结论显然。（2）如果u，v是中间变量，在点(x,y)有连续偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分可表示为：事实上，dyyzdxxzdz全微分形式不变形的实质：无论z是自变量u，v的函数或中间变量u，v的函数，它的全微分形式是一样的.dyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()()()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz常用的微分公式).0()(;)(;)(2vvudvvduvudvduudvuvddvduvud例10已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe22xz例11.),(),(),,(dxdufFxyyxfzzyxFu均可微，求，，函数其中，，设1、链式法则2、全微分形式不变性（理解其实质）四、小结设),,(xvufz，而)(xu，)(xv，则xfdxdvvfdxduufdxdz，试问dxdz与xf是否相同？为什么？思考题思考题解答不相同.等式左端的z是作为一个自变量x的函数，而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数，写出来为xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvf