大学课件 高等数学下册 7-8

第七章多元函数微分学第八节多元函数的极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.一、多元函数的极值(1)(2)(3)例1函数2243yxz处有极小值．在)0,0(例２函数处有极大值．在)0,0(22yxz处有极大值．在)0,0(例３处无极值．在函数)0,0(xyz回忆：一元函数极值的必要条件设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.费马定理定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，注意：又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时具有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例4求函数的极值．333yxxyz解033),(033),(22yyyxfxyyxfyx求得驻点)0,0()1,1(，在点处)0,0(06)0,0()0,0(xfAxx3)0,0(xyfB06)0,0()0,0(yfCyy092BAC所以，在处函数没有极值．)0,0(在点处)1,1(66)1,1()1,1(xfAxx3)1,1(xyfB又06A所以，在处函数有极大值．且)1,1(1)1,1(f0272BAC66)1,1()1,1(yfCyy例5求由方程yxzyx222220104z确定的函数),(yxfz的极值将方程两边分别对yx,求偏导0422204222yyxxzzzyzzzx由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(P,将上方程组再分别对yx,求偏导数,解,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx故)2(0)2(122zzBAC,函数在P有极值.将)1,1(P代入原方程,有6,221zz,当21z时，041A,所以2)1,1(fz为极小值；当62z时，041A,所以6)1,1(fz为极大值.求具有二阶连续偏导数的函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.但在（0,0）点取得极小值不存在),(fx00注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.例32x)y,x(f32y不存在),(fy00综上讨论可知，函数的极值点的存在范围：驻点、偏导数不存在的点二、有界闭区域上函数的最值对于该区域内任一点)y,x(,若恒有不等式)y,x(f)y,x(f).001则称为函数在D内的最大值)y,x(f00最大值与最小值统称为最值.)y,x(fz在平面区域D内有定义,设函数使函数取得最值的点(x0,y0)称为最值点.D)y,x(p00)y,x(f)y,x(f).002则称为函数在D内的最小值)y,x(f00求最值的一般方法：如何求连续函数z=f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函数在D上的最小值.例8求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,解方程组0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD例9求122yxyxz的最大值和最小值.,0)1()(2)1(22222yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222yxyxyyxzy得驻点)21,21(和)21,21(,解由即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为21，最小值为21.因为01lim22yxyxyx在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值.例9某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？此水箱的用料面积0)y0,(x)22(2)22(2yxxyxyxxyyxyA解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为xy2332,2yx332,2yx时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为3332,2,2时，水箱所用的材料最省。0)2(20)2(222yxAxyAyx实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx二、条件极值、拉格朗日乘数法1.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值．求),,,(:21nxxxfu“目标函数0),,,(:21nkxxx在约束条件组),,,2,1(nmmk如k=1,求在约束条件“),(yxfu”下的极值。0),(yx如k=2,求在约束条件“),,(zyxfu下的极值。”0),,(0),,(zyxhzyxg下的极值。”条件极值在数学上的提法从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值求解.其思路是，将其转化为无条件极值.但是当条件为方程(组)给的隐函数时，转化有困难，从而产生了下述方法——Lagrange乘数法。以下先分析Lagrange乘数法的原理，从而得出条件极值的必要条件,然后讲乘数法的具体作法。2.拉格朗日乘数法的极值，条件处取得满足在点设函数0),(),(),(00yxyxyxfu则应有0),(00yx).(0),(.0),(),(),(),(0000xyyyxyxyxyxfyxy连续导数的函数有确定一个单值可导且具定理，方程则由隐函数连续的一阶偏导数，且有，的某邻域函数设在：代入),(yxfu)](,[),(xyxfyxfu于是问题转化为求的无条件极值))(,(xyxfu则条件，由一元函数极值的必要0),(),(000000xyxxdxdyyxfyxfdxdu0))(,(),(xyxyx而由方程两边求导，得0),(),(00000xyxdxdyyxyx),(),(00000yxyxdxdyyxx即),(),(),(),(00000000yxyxfyxyxfyyxx代入0),(),(00000xyxdxdyyxfyxf得0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx于是得到在约束条件),(yxfu0),(yx下的极值的必要条件0),(),(0000yxyxfxx0),(00yx0),(),(0000yxyxfyy),(),(),(),(00000000yxyxfyxyxfyyxx令0),(),(0000yxyxfxx0),(00yx此结果相当于一个三元函数：),(),(),,(yxyxfyxF取得无条件极值的必要条件,函数，F称为LagrangeLagrange称为乘数，0),(),(0000yxyxfyy称为Lagrange乘数法.而把作为取条件极值的必要条件的方法拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得可能极值点的坐标.例6将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解令)12(),,(23zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx解得唯一驻点)2,4,6(，.691224623maxu则故最大值为例7在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解设),,(000zyxP为椭球面上一点,令1),,(222222czbyaxzyxF,则202|axFPx，202|byFPy，202|czFPz过),,(000zyxP的切平面方程为)(020xxax)(020yyby0)(020zzcz,化简为1202020czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为02xax，02yby，02zcz,所围四面体的体积000