大学课件 高等数学下册 8-4

第八章重积分第四节重积分的应用把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.dddyxf),(dyxf),(),(yx若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为DdyxfU),(dU１．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在,Dd设小区域,),(dyx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS.dsdAdAdsszd则有，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，d),(yxMdAxyzso一、曲面的面积,面上的投影在为xoydAd,cosdAd,11cos22yxffdffdAyx221,122DyxdffA曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(1３．设曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy２．设曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;122dydzAyzDzxyx同理可得例1求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,于是221yzxz,222yxaa解)0,(yx面积dxdyzzADyx1221412224Ddxdyyxaacos0220142ardrrada.4222aa例2求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解解方程组,22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222azayx在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzy221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2rdrraada022204122a).15526(62a),(yx设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系的质心的坐标为niiniiiymxmMMx11，niiniiixmymMMy11．二、质心当薄片是均匀的，质心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy由元素法设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质心,),,(),,(dvzyxdvzyxxx由元素法设有一空间立体，在点),,(zyx处的体密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，空间立体的质心,),,(),,(dvzyxdvzyxyy,),,(),,(dvzyxdvzyxzz解:下页例3求两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心形称由对性,所以心),(yxC位于y轴上,于是0x所以3737y此因所求形心是)37,0(C31222dD,31222dD,因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD,因为7sinsinsin4sin2202ddddydDD,z=0心的所围立体与平面求由抛物面质0122zyxzyxzoyx则,)(zyx，，质解心为设21rz.1ΩdddzθrrV2102010ddd2rπzzrrθπ.31.)31,0,0(心为故质.Ωddd2zyxzπz2102010dddrπzrrθ2....例4.zyxzVzddd.1设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为niiixymI12，niiiyxmI12.三、平面薄片的转动惯量,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片对于x轴和y轴的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量x薄片对于轴的转动惯量y,),,()(22dvzyxzyIx设有一空间立体，在点),,(zyx处的体密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，空间立体对于x轴和y轴和z轴的转动惯量为立体对于x轴的转动惯量立体对于y轴的转动惯量,),,()(22dvzyxzxIy立体对于z轴的转动惯量,),,()(22dvzyxyxIz例5设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图aboyx对y轴的转动惯量为,2dxdyxIDybabydxxdy0)1(02.1213ba同理：对x轴的转动惯量为dxdyyIDx2.1213ab例6求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球的半径为a解球体所占空间闭区域可表示为{(x,y,z)|x2y2z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz,其中334aM为球体的质量首页dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252,dvyxIz)(22ddrdr34sindrrdda200043sin5158aMa252,drrdda200043sin5158aMa252,四、引力的大小近似为的引力微元点对质，，则质量微元任取一点中在元素个下块，任取一个体积分成将dFMdvdvzyxzyxMdvdvn0),,(),,(,dvrmzyxGdF2),,(下页设物体占有空间有界闭区域,其密度(x,y,z)为上的连续函数求物体对于物体外一点M0(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力.0的距离与为为引力常数，其中MMrG),,(0000zzyyxxMM由于所以202020)()()(zzyyxxr轴上的大小分别为在三个坐标的方向一致，故与FdMMFd0rxxdvrmzyxGdFx02),,(ryydvrmzyxGdFy02),,(rzzdvrmzyxGdFz02),,(的大小为在三个坐标轴上的分量所以引力FdvrxxmzyxGFx30)(),,(dvryymzyxGFy30)(),,(dvrzzmzyxGFz30)(),,(例7设均匀柱体密度为,占有闭区域{(x,y,z)|x2y2R2,0zh},求它对于位于点M0(0,0,a)(ah)处单位质量的质点的引力解:由柱体的对称性可知,沿x轴与y轴方向的分力互相抵消,故FxFy0,而dvzayxzaGFz2/3222])([2222/32220])([)(RyxhzayxdxdydzzaG2002/3220])([)(RhzarrdrddzzaG2002/3220])([)(RhzarrdrddzzaGhdzzaRzazaG022))(11)((2hdzzaRzazaG022))(11)((2))((22222haRaRhG几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力五、小结思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心求位于两圆babrarabxyo薄片关于轴对称x,0y则DDddxxDrdrrdba20coscoscos2)()(224338abab.)(222ababab思考题解答