大学课件 高等数学下册 9-4

第九章曲线积分与曲面积分第四节对面积的曲面积分若曲面是光滑的,它的面密度为连续函数),,(zyx,求它的质量.1.实例所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.一、对面积的曲面积分的概念与性质前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分niiiiLsdsyx10),(lim),(其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式niiiiiS10),,(lim抽象概括得到对面积的曲面积分的概念2.对面积的曲面积分的定义设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把分成n小块iS（iS同时也表示第i小块曲面的面积）,设点),,(iii为iS上任意取定的点,作乘积),,(iiifiS,并作和niiiif1),,(iS,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),,(zyxf在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.1.定义即dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10记为dSzyxf),,(.dSzyxf),,(21),,(),,(dSzyxfdSzyxf.3.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21叫被积函数，其中),,(zyxf.叫积分曲面注对面积的曲面积分的应用面积dSA质量dSzyxM),,(重心dSdSxxdSdSyydSdSzz转动惯量dSzyIx)(22dSzxIy)(22dSyxIz)(22二、计算法;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),,(),(:.1yxzz若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：xyDxoy其中为曲面在平面的投影区域;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),(.3zyxx：若曲面则),(.2zxyy：若曲面xzDxoz其中为曲面在平面的投影区域yzDoz其中为曲面在y平面的投影区域这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元dS投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式例1计算()xyzdS,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.解积分曲面：yz5,投影域：}25|),{(22yxyxDxydxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdy()xyzdS故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125例2计算dSyx)(2222yxz是锥面其中与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解分成两部分将10:221zyxz11:222yxz21,在xoy内的投影区域1:22yxDoxyz1:2z11)(22dSyx故Dyxdxdyzzyx22221)(Ddxdyyx)(22220102222rdrrd2)(22dSyxDdSyx)(22220102rdrrd21)()(2222dSyxdSyx221注对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性设对称于xoy（或yoz，或zox）坐标面若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是奇函数0),,(dSzyxf则若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是偶函数1),,(2),,(dSzyxfdSzyxf部分位于对称坐标面一侧的是其中1完全类似于三重积分的对称性例3计算dSyx221是介于平面其中z=0与z=H之间的圆柱面222Ryx解)(:221在第一卦限的部分令xRy面的投影区域为在zox1RxHzDzx00:由对称性有12222141dSyxdSyxzxDzxdxdzyyR222114-22220044=arcsin|HRRRRdzdxHRRRRxRH2例4计算dSzxyzxy)(为其中所截得的部分被柱面锥面axyxyxz22222解面的投影区域在xoyaxyxD2:2222yxz2222yxyzyxxzyxdSzxyzxy)(故Ddxdyyxyxxy])([22222cos2022)]cos(sincossin[2ardrrrd2244cos1641]cossincos[sin2da2054cos28da415264a例5计算dSczbyax)(的整个表面Rzzyx2:222解由奇偶对称性0ydSxdS分成须将为计算zdS上半球面2221:yxRRz下半球面2222:yxRRzdSczbyax)(12czdSczdSDdRc234cR):(222RyxD2212222:1++=xyRzzRxy对和都有dSczbyax)(12czdSczdS222222(+)DRcRRxydRxy34cR):(222RyxD222222+(-)DRcRRxydRxy222222220012=2RDrcRdcRddrRxyRr四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),,(iiiniiSf),,(lim10（按照曲面的不同情况分为三种）思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.221yxzz思考题解答是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn221yxzz故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.z