大学课件 高等数学下册 9-77

第九章曲线积分与曲面积分第七节场论初步一、场论知识简介一、场概念1、定义：场是发生物理现象的空间部分。像我们熟悉的重力场、将要讨论的电磁场等。单纯从数学上看，所谓的场是指某一类函数量或向量在空间中的分布。2、分类:可分为向量场和数量场。数量场：反映场性质的量只有大小上的不同，没有方向上的差异。具体地说，如果对空间区域而言，中的每一点都有唯一确定的数量函数则称是上的一个数量场。),,(zyxM),,()(zyxfMfu),,()(zyxfMfu向量场：反映场性质的量既有大小上的不同，又有方向上的差异。具体地说，如果对空间区域而言，中的每一点都有唯一确定的向量函数则称是上的一个向量场。),,(zyxMkMRjMQiMPMFA)()()()()(MFA定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.二、数量场的等值面与梯度函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22|),(|yfxfyxgradf.结论三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf梯度的概念可以推广到三元函数三、向量场的通量与散度设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为1.通量的定义:RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0称为向量场),,(zyxA向正侧穿过曲面Σ的通量.设有向量场),,(zyxA,在场内作包围点M的闭曲面,包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩成点M时,极限VSdAMVlim存在,则称此极限值为A在点M处的散度,记为Adiv.2.散度的定义:散度的计算公式：zRyQxPAdiv四、向量场的环流量与旋度.),,(),,(),,(),,(按所取方向的环流量沿曲线称为向量场上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC1.环流量的定义:dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdxC)()()(环流量利用stokes公式,有2.旋度的定义:.ArotRQPzyxkji为向量场的旋度，记为称向量.)()()(kyPxQjxRzPizQyRRQPzyxkjiArot旋度