大学课件 高等数学下册 9-习题课

第九章曲线积分与曲面积分习题课（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算dtfdsyxfL22],[),()(dtQPQdyPdxL]),(),([(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10联系RdxdyQdzdxPdydz计算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向(与侧有关)dSRQP)coscoscos(dSzyxf),,(xyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系理论上的联系1.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD格林公式2.三重积分与曲面积分的联系RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式3.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式梯度kzujyuixugradu通量旋度环流量zRyQxPAdivRdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()(RdzQdyPdx散度（三）场论初步例1计算12LLxydsxydx:1,1,00,1Lxy从到。二、例题（1，0）（0，1）1.解21:1,12Lyxdsydxdx10122Lxydsdx12LLLxydsdsds或2:1,:10,Lyxx0111Lxydxdx例2计算LdyyxdxxyxI)()2(422,其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sin.解xxyxyyP2)2(2知xyxxxQ2)(42,xQyP即所以积分与路径无关xyo11ALdyyxdxxyxI)()2(422由BD104102)1(dyydxx.1523xyo11ABAOBLdyyxdxxyxdyyxdxxyxdyyxdxxyxI)()2()()2()()2(422422422所以BD例3计算曲线积分,其中LyydyexdxxeI222)1()1(为在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.L4)2(22yx解：记,.则由于,yxeP21122yexQxQxeyPy221222)1()1(Lyydyexdxxe.12)1(04dxx则所给积分与路径无关。现取,从变到;0:1yL40xLyydyexdxxeI222)1()1(则有分析本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看,以决定是否用格林公式或其他的方法计算。,yPxQyPxQ25xdS例求2222xyzR：，第一卦限部分.222222221:1xyzRxyRdxdydSzzdxdyRxy解法222222222:,0,0xyxyDRxdxdyxdSDxyRxyRxy32422200cos6RrRdRRr解法2由对称性（轮换性）222xdSydSzdS2222222411433386RRxdSxyzdSdSRR22226xyzxydxdy例，22:10.zxyz的下侧22:1xyxoyDxy下解向面的投影区域22222221200=23xyDxyzxydxdyxydxdydrdr曲面面积的计算法SDxy),(yxfzxyozdSSxyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL),(),(dxyyxfba21),(zxoy),(yxfzsLABab例7求柱面13232yx在球面1222zyx内的侧面积.解由对称性LLdsyxzdsS2218,1:3232yxL)20(,sin,cos33ttytx参数方程为,cossin3)()(22tdttdtyxdstttdttttScossin3sincos182066tdttttcossincossin32420222022cossin324tdtt.233．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算1,),,(,]),,([]),,(2[]),,([zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例8xyoz111解利用两类曲面积分之间的关系,1:yxz.31cos,31cos,31cosdSzzyxfyzyxfxzyxfI]}),,([31]),,(2[31]),,([31{dSzyx)(31xyDdxdy3131.21例9计算曲面积分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2,其中是由曲线)31(01yxyz绕y轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于2.解22101xzyyxyz轴旋转面方程为绕(如下图)xyzo132***I且有dvzRyQxP)(*dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2欲求dvxzDxzdydxdz31223120202dydd203)2(2d,2**2)31(2dzdx,32)32(2I故.34