大学课件 高等数学下册 第七章_多元函数微分学习题总结 (1)

1习题课基本内容典型例题第七章多元函数微分学教学要求2第七章多元函数微分学习题课一、基本内容1.多元函数的概念.),(),,(Dyxyxfz2.多元函数的极限)(定义一元函数在某点的极限存在的充要和一元函数极限的差异：必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf3第七章多元函数微分学习题课3.多元函数的连续性),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx.0),(),(lim0000)0,0(),(yxfyyxxfyx或4.多元函数的偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),('0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),('0000000高阶偏导数：'','','',''yxxyyyxxffff闭区域上连续函数的性质最值定理介值定理4第七章多元函数微分学习题课5.全微分),(),(yxfyyxxfz)(oyBxA0dyfdxfdzyx''可微的必要条件可微必连续，可微必可导。可微的充分条件偏导连续必可微。偏导连续可微连续有偏导5第七章多元函数微分学习题课6.多元复合函数的求导法则（三种情况）(1)抽象函数的情形(2)高阶复合函数求导特别注意7.隐函数的求导法则(1)一个方程情形(二元方程、三元方程)(2)方程组情形隐函数的个数=方程的个数隐函数的自变量个数=总自变量个数方程的个数6第七章多元函数微分学习题课8.多元函数微分学的几何应用(1)空间曲线的切线与法平面(三种情形)(2)空间曲面的切平面与法线(三种情形)9.方向导数与梯度00000(P)(P)lim.PPPPPPPlfffl与同向方向导数梯度.','adrg00PyxPfff.||)(00llgradflfPPcos)('cos)('00PfPfyx7第七章多元函数微分学习题课方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。10.多元函数的极值与最值(1)极值的必要条件极值的充分条件(2)求条件极值的方法代入法，Lagrange乘数法(3)求最值的方法8二、教学要求与可微之间的关系.掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.二元函数极限、2.熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要会求函数的全微分(尤其是判定分段函数分段点的可微性).第七章多元函数微分学习题课连续、1.掌握存在偏导95.了解方向导数与梯度的概念及其计会用拉格朗日乘数法求多元函数的3.熟练掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的求法.方程、4.熟练掌握二元函数的极值理论及其求法,极值以及有关应用题.算方法.第七章多元函数微分学习题课102222zyxyxz与平面求旋转抛物面例解,),,(22上任一点为抛物面设yxzzyxP分析),,,(zyxP本题变为求一点拉格朗日乘数法.之间的最短距离．,022dzyxP的距离为到平面则.2261zyxdzyx,,使得满足最小．即))22(61(22zyxd2261zyxd且使022zyx第七章多元函数微分学习题课三、典型例题11),()22(61),,(222yxzzyxzyxL令解此方程组得得.81,41,41zyx2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．)1(,02)22(31xzyxLx)2(,02)22(31yzyxLy1(22)(2)0,(3)3zLxyz)4(,22yxz最小．即))22(61(22zyxd第七章多元函数微分学习题课12.647241414161mind),81,41,41(即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,)81,41,41(2222zyxyxz与平面求旋转抛物面之间的最短距离．2261zyxd第七章多元函数微分学习题课13,cosvexu设,sinveyuuvz试求和.xzyz解题思路xvvzxuuzxzxvvevxuexvvevxueuuuucossin0sincos1veyvexuusincos和分别将xvuxuvxvxu,解出再代入上式即得.求导得两边对x第七章多元函数微分学习题课例14上海交大考试题(97级))(xyxfz曲面解),,,(000zyxM2xyxyfxxyfzxxyfxyxyfxxyfxzy1xyf则1),(),()(00000000xyfxyfxyxyfn设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.第七章多元函数微分学习题课Myxzzn)1,,(15则切平面方程为:))(()()()(0000000000yyxyfxxxyfxyxyf0)(0zz0)()()(00000000zyxyfxxyfxyxyf即证.1),(),()(00000000xyfxyfxyxyfn)(xyxfz曲面上的任意一点处的切平面都过原点.000第七章多元函数微分学习题课16解具有什么关系时问的方向导数的向径cbar,,,0例),,,(0000zyxr,||cos00rx处的方向导数为在点Mcoscoscos0MMMMzuyuxuru,||2020200zyxr.||cos00rz,||cos00ry||2||2||2002000200020rzczrybyrxax处沿点在点求),,(000222222zyxMczbyaxu此方向导数等于梯度的模?)(||22202202200czbyaxr第七章多元函数微分学习题课17)(||22202202200czbyaxr处的梯度为在点MkzujyuixuuMMMMgradkczjbyiax202020222具有什么关系时问的方向导数的向径cbar,,,0处沿点在点求),,(000222222zyxMczbyaxu此方向导数等于梯度的模?Mru04204204202gradczbyaxuM第七章多元函数微分学习题课18,时当cba20202022zyxa,2)(2202020220202020202020zyxazyxzyxaruMMMurugrad0.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当cba),(||22202202200czbyaxrMru04204204202gradczbyaxuMMugrad2020200||zyxr第七章多元函数微分学习题课19作业自测题七(61页)4.5.6.7.8..11.12.第七章多元函数微分学习题课20例解，具有二阶连续偏导数设)(),,(3fxyxyfxzyz2214fxfx22yz,222123115fxfxfx2x.,,222yxzyzyz求3xxf1()12xf4xxf11()112xfxf21()122xf第七章多元函数微分学习题课三、典型例题21yxz2134fx)(2214fxfxx.2422114213fyfyxfxfx2214fxfxyz2x4x22xf),(3xyxyfxzxyz2yf11[)](212xyfyf21[)](222xyf第七章多元函数微分学习题课22.0),(,0),,(),,()(zxhzyxgyxfuxu由方程组设函数解例法一方程组各方程两边微分,得yfxfuyxddd0dddzgygxgzyx0ddzhxhzx.ddxhhzzx)dd(1dzgxggyzxy分析变量4个,方程3个,)(),(),(xzzxyyxuu则,0,0,zhyg且所确定.ddxu求独立自变量1个.由题意选x为独立自变量.第七章多元函数微分学习题课23xudd得由)3(得代入)2(得代入)1(法二.0),(,0),,(),,(zxhzyxgyxfu方程组各方程两边对x求导,得xgxh,ddzxhhxz,ddyxzyxzgghghgxy.ddzyxzyyxyxhghgfggffxuxfxyfydd)1(xygyddxzgzdd0)2(xzhzdd0)3(第七章多元函数微分学习题课24法三)],(,[zxyxfu))](,(,[xzxyxfxudd而yxxggyyzzggyzxhhxzddyfzy.0),(,0),,(),,()(zxhzyxgyxfuxu由方程组设函数,0,0,zhyg且所确定.ddxu求xfxy()ddxz第七章多元函数微分学习题课