10-11届 高等数学期末考试题

2010~2011学年第二学期高数期末考试题一.填空题(每小题4分,共20分)221.42,16,181.zxygradz+9点的梯度44221,1,1,12.(,)2.fxyxyxxyy的极值点是2222223..LLxyaxayds假设为圆周的右半部分,则221,0,14.sin20.xAeyixyzjxzykdivA设=++,则22123222125.3,3,3222266,.3xxyyxyxexxyxyxyxyCxCe设都是方程的解则该方程的通解为二.(本题8分)计算三重积分222222,1.xyzdvxyz其中是由所围成的闭球体2122000sin45ddrrdr原式三.(本题8分):(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.xyfxyxyff证明在点处连续与存在但在处不可微00022001lim0(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim(0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim(,)0,0.xyxxyxyxyxyxyffxyxyfxffxfffffxfyxyfxy因为所以在点处连续.=0,同理所以与存在因为不存在,所以在处不可微四.(本题8分),cos,sin,uxyxryruuxyryx设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.22cos,sin,arctan,sincoscos,sin,,.xryryrxyxrrxyxryruuuxyyx由得到从而于是五.(本题8分)计算2222,:111121LxdyydxLxyxyxy其中为圆周按反时针方向闭曲线按反时针方向222222222221111,0,0,021:,,2LLlxyQPxyxyxdyydxxyxylxyxdyydxxdyydxxyxy圆周按反时针方向由于=,,利用格林公式闭曲线按反时针方向作小圆取顺时针方向则在复连通区域上用格林公式有六.(本题8分)计算224.ydSxyzxy,是平面被圆柱面=1截出的有限部分22:4,3:30()DzxydSdxdyxoyxyydSydxdy在面的投影区域为D1则对称性七.(本题8分)计算曲面积分222,4.Iyzdzdxdxdyzxy其中为上半球面的上侧222222:4,,,,,cos,cos:422212DzxynxyzydzdxdxdydxdyzxoyDxyIyzdzdxdxdyydxdyydxdy取上侧即法向量利用对坐标的转换在面的投影区域为则八.(本题6分)sin.dyyxdxxx求微分方程的通解cos.Cxyx通解为:九.(本题6分)22.xyyye求微分方程的通解1212xxxyCeCee通解为:十.(非化工类做)(本题6分)12111.4nnnnxn求幂级数的收敛域2,2收敛域为十一.(非化工类做)(本题7分)2(),2.xfxxx将函数展开成麦克劳林级数并确定其成立区间120111,1,1232nnnnxxxxx十二.(非化工类做)(本题7分)()2,1,0,(),1,0,.fxxfxx设函数是以为周期的周期函数它在上的表达式为将其展开成傅立叶级数并确定其成立范围141()sin21,0,,2,3210,,2,3,()nfxnxxnxfx时的傅立叶级数收敛于0.十.(化工类做)(本题6分)求微分方程222336640.xxydxxyydy+的通解32243xxyyC通解为:十一.(化工类做)(本题7分)计算2,.LxdsLyxyx其中为直线及抛物线所围成区域的整个边界1120014212551122Lxdsxxdxxdx+十二.(化工类做)(本题7分)22.1yyy求微分方程=0的通解1211yCxC通解为