大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用

（第1页（共4页）导数、微分及其应用训练一、（15分）证明：多项式23212!3!2!nxxxPxxn无实零点。证明：用反证法证明，设0Px存在实根，则此根一定是负实根（因为当0x时，0Px）。假设00Px，则有00x。因为2322112!3!2!21!nxnxxxeexxnn由此可得021021!xneexn，但是02100,021!xneexn，这是一个矛盾。所以多项式23212!3!2!nxxxPxxn无实零点。二、（20分）设函数fx在,ab上具有连续导数，在,ab内二阶可导，证明：存在,ab，使得21224abfafbfbaf证明：设,22baabgxfxfxxa。对函数gx在区间,2aba上运用拉格朗日中值定理可得，存在1,2aba使得122babaggag112222ababbabafbfffaff再对函数fx在区间11,2ba运用拉格朗日中值定理，存在11,2ba使得（第2页（共4页）1122babafff由此可得21224abfafbfbaf三、（20分）设fx是二阶可微函数，满足01,00ff，且对任意的0x有560fxfxfx证明：当0x时，2332xxfxee。证明：因为5623fxfxfxfxfxfxfx，设2gxfxfx，则有33330300xxxgxgxgxegxeegx因此当0x时，330222xxgxegfxfxe2222220xxxxxfxefxeefxee当0x时，223202332xxxxfxeeffxee。四、（15分）设函数,,ufxyz是可微函数，如果yxzfffxyz，证明：u仅为222rxyz的函数。证明：考虑球面坐标sincossinsincosxryrzr，其中222rxyz，则有sincos,sinsin,cosufrrr，因为sinsinsincos0yxxyffffrfrxyxycoscoscossinsinxyzffrfrfr22222cossincoscossinsincossinyxzfffrrrxyz（第3页（共4页）22cossincossin0xzffrrxz所以u仅为222rxyz的函数。五、（15分）设fx在点0x处可导，0nnaxb且0limlimnnnnabx。证明：0limnnnnnfbfafxba证明：因为fx在点0x处可导，所以0000fxfxfxxxxx0000nnnfbfxfxbxbx0000nnnfafxfxaxax000limlimnnnnnnnnnnfbfabxaxfxbaba0000000limnnnnnnnnnnnbxaxbxaxfxbxbaaxba又因为0nnaxb，所以001,1nnnnnnbxaxbaba，由此可得0limnnnnnfbfafxba六、(15分)设函数fx具有三阶连续导数，并且对任意的x，,,,fxfxfxfx都为正值，并且fxfx。证明：对任给的x有2fxfx。证明：任取数z，构造函数22fxgxfxfxxzxz因为202xfxgxxz，并且只有0xgz，所以任取正数y，则有22fzyfzyfzyyygzygzy2222fzyfzyfzyfzyyyy（第4页（共4页）202yfzyfzyyfzyfzy利用拉格拉日中值定理，存在,zyzy使得，2fzyfzyyf所以有30fzyfzyyfy又因为fffzy，所以30fzyfzyyfzyy当1y时有，121fzfz由z的任意性可得对任给的x有2fxfx。