大学 高等数学 竞赛训练 积分学

第1页（共4页）大学生数学竞赛训练三—积分学一、（15分）计算481xdxxx。解：原式2482412112121uxxdxduxxuu222224222211111111111414411uuuudududuuuuuuu221111441131uuuududuuuuu211111arctanln1ln18433uuuCuuu42222211111arctanln1ln18433xxxCxxx二、（20分）设曲面221:13zxy和球面2222:25xyz1）求1位于2内部的面积2）设222:25xyz，求位于1内部的体积。解：1）解方程组222221325zxyxyz得3,4zz443312131534413zdzzdzz433322231534653766z方法二、22242220391614414xyxydxdydrrdr43332222312146537126r。2）此为旋转体的体积第2页（共4页）45322345132525Vzdzzdzzdz453233345132525233zzzzzz1211874171092332方法二、4423350025133Vzdzzdz443233500125131093322zzzz三、（15分）求222211coscoscosdydzdzdxdxdyxxyzz，其中为球面2221xyz，并取外侧。解：对应外侧的单位法向量为,,xyz22222221121coscoscoscoscoscosydydzdzdxdxdydSxxyzzxyz由对称性可得222110,coscoscosydSdSdSyxz，所以222221113coscoscoscosdydzdzdxdxdydSxxyzzx221222220222111612cos111cos1yzrdydzdryzyzrr12012tan112tan1r。四、（15分）设函数fx具有二阶导数，且0,,fxx，函数gx在区间0,0aa上连续，证明：0011aafgxdxfgxdxaa证明：利用泰勒公式，对任取的0,x有200002ffxfxfxxxxx第3页（共4页）其中在0,xx之间，因为0,,fxx，所以我们有200000002ffxfxfxxxxxfxfxxx取001axgxdxa，则有000111aaafgxfgxdxfgxdxgxgxdxaaa两边在0,a上关于x可得0011aafgxdxfgxdxaa五、（15分）计算2200,0axbxeedxabx。解：设2200axbxeeIadxax，则有22220001122axaxaxxeIadxxedxexaa1ln2IaaC，又因为2200bxbxeeIbdxx，所以1ln2Cb2201ln2axbxeebdxxa。方法二、原式2200bbxyxyaaxedydxdyxedx20111ln222bbxyaabedydyyya六、（20分）设,uuxy具有二阶连续偏导数，光滑曲线C是区域D的边界，证明：22DDCuuudxdyuudxdyudsxyn其中2222,uuuuxyn是沿曲线C外法向量的方向导数。证明：设曲线C的单位外法向量为cos,cos，则曲线C的正方向（逆时针方向）第4页（共4页）对应的单位切向量为cos,cos，因为coscosCCCuuuuuudsudsudxudynxyyxDuuuudxdyxxyy22DDuudxdyuudxdyxy所以22DDCuuudxdyuudxdyudsxyn。