大学 高等数学 竞赛训练 级数

第1页（共3页）大学生数学竞赛训练四—级数一、（20分）设2101nnxfxxn1）证明：21lnln1016fxfxxxx2）计算1011ln2dxxx证明：1）设1lnln1Fxfxfxxx，因为11111ln1ln1nnnnxxxxFxnnxx1111111ln111ln11nnnnnnxxxxxnxnxxln1ln1lnln0,0111xxxxxxxxx所以，当01x时，Fx为常数，即有2211116nFxFfn（注意这里利用了极限2111121ln1ln1limlnln1limlimlim01111lnlnxxxxxxxxxxxxx）2）1110222ln2ln1ln2112ln12txttdxdtdtxxtt11112222222111111112ln2ln2ln222nnnnnnnnnttdtdttnnnn222211ln2ln262122f。二、（15分）设fx在点0x的一个邻域内有连续导数，且0lim0xfxax。证明：级第2页（共3页）数111nnfn收敛，但级数11nfn发散。证明：因为00limlim0xxfxfxxx，由连续性可得0000,0lim0xfxfffax，由导数的连续性可得存在0x的一个邻域内0fxk，这就说明当n充分大时，数列1fn是递减的，并且1lim0nfn，由莱布尼茨判别法可得，级数111nnfn收敛；由0,ffx单调增可得，级数11nfn是正项级数，对函数fx在区间10,n运用拉格朗日中值定理，存在10,n有110ffffnnn当n充分大时有1kfnn，因为级数1nkn发散，由比较判别法，级数11nfn发散。三、（15分）求级数121123nnnnn的和。解：因为1521221231223nnnnnnnn111511212223nnnn所以12111517123222312nnnnn。四、（15分）设fx是以2为周期的连续函数，0,,,1,2,nnaabn是fx的傅里叶系数，证明贝塞尔不等式22220112nnnafxdxab证明：因为01cossin2nnnafxanxbnx，设01cossin2nkkkaSakxbkx，则有222111102nnnfxSxdxfxdxfxSxdxSxdx第3页（共3页）22222220011122nnkkkkkkafxdxaabab以上利用了1,cos,sin,,cos,sin,xxnxnx是正交系，所以22220112nkkkafxdxab222222200111lim22nkknnnknaafxdxabab五、（20分）已知203!nnnnfxxn，求fx与x轴所围成图形的面积。解：200210123323!!2!1!!nnnnnnnnnnnnnnnxfxxxxxnnnnn223xxxe简单计算可得0fx仅有两个解3,1xx，并且当31x时，0fx，所以所求面积为112233362332xxxSxxedxxeeee六、（15分）判断级数111ln1nnn的敛散性。解：因为221111ln111ln11111ln1ln1nnnnnnnnnn111111ln1nnnnnnnnnn由比较判别法可得，级数111nnnnn收敛，再用比较判别法可得级数111ln1nnn收敛。