大学 高等数学 竞赛训练 试题

第1页（共4页）一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）1）22011ln1limxxxexx解：因为2ln12ln12222200011limlimlimxxxxxxxxxeeeeexxx222200222ln121limlim2xxxxxeeexx所以，原式22222001ln1limlim0xxxxexeeexx2）设2coscoscos222nna，求limnna。解：因为22coscoscossin2222coscoscos222sin2nnnnna2112222coscoscossincoscoscossin222222222sin2sin22nnnnnn…………11cossinsin2222sinsin22nnnn所以21sinsin2limlimsin2nnnna。3）求sgn1Dxydxdy，其中,02,02Dxyxy。解：112222211100022sgn1xxDxydxdydxdydxdydxdy2211221ln2ln24ln2xxx4）求幂级数221212nnnnx的和函数，并求级数211212nnn的和。解：设221212nnnnSxx，则有第2页（共4页）121222220011121222222212nnxxnnnnnnnxxxxxStdttdtxxx上式两边关于x求导得2222222222222xxxSxxxx21121110292nnnS。二、（本题共16分）设0nna为数列，,a为有限数，求证：1）如果limnnaa，则12limnnaaaan2）如果存在正整数p，使得limnpnnaa，则limnnanp。证明：1）因为limnnaa所以存在0M有naM。对任意的0，存在整数10N，当1nN时有2naa1121212nnNMaaaaaaaaaanNannnn又因为存在整数20N当2nN有12NMan，所以取12max,NNN当nN时有12naaaan这就证明12limnnaaaan。2）设0nmprrp，则有11223limlimmprprrmprmprmprmprmprnrnnaaaaaaaaaannn11223limmprprrmprmprmprmprmprnaaaaaaaammn11223limmprprrmprmprmprmprmprmaaaaaaaammmpr第3页（共4页）11limmprmprmaapp。三、（本题共15分）设函数fx在闭区间1,1上具有连续的三阶导数，且10,11,00fff。求证：在开区间1,1内至少存在一点0x，使得03fx。证明：因为2300026fffxffxxx，在0,x之间，10,11,00fff所以101026fff，200026fff1232ff其中12,1,1，又因为fx在1,1上连续122ff在12,ff之间，由介值定理可得，存在1,1使得1232fff。四、（本题共15分）在平面上，有一条从点,0a向右的射线，其线密度为。在点0,h处（其中0h）有一质量为m的质点。求该射线对质点的引力。解：用微元法计算，设此射线上一小段为dx，其上一点的坐标为,0x，此小段对质点的引力方向为2222,xhxhxh，大小为22Gmdxxh，由此可得该射线对质点的引力为33222222,aaGmxdxGmhdxdxdxxhxh12222233arctansec,secahahtGmxhGmhdtht22,1sinarctanGmGmahhah五、（本题共15分）设,zzxy是由方程11,0Fzzxy所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。求证：220zzxyxy和222332220zzzxxyxyyxyy。第4页（共4页）证明：此题是错题。六、（本题共15分）设函数fx连续，,,abc为常数，是单位球面2221xyz。记第一型曲面积分为IfaxbyczdS。求证：122212Ifabcudu证明：当0abc时，40IfaxbyczdSf122212fabcudu。当,,abc不全为零时，用微元法证明。用平面222axbyczabcu去切球面2221xyz，其中1,1u设平面切球面所得半弦长21su，则21udsduu所切小环带展开后长为221u，宽为22211dsduduu12222121211IfaxbyczdSfabcuuduu122212fabcudu。udu21u