大学 高等数学下册 练习卷

共8页第1页高等数学下册试卷2013．7．5姓名：学院与专业：学号：一、填空题[每小题4分，共20分]1.设2xyue，则2uuxyxy02.设2222xyzxyz,则1,0,1dz2dxdy3.函数22lnuxyz在点1,0,1A处沿1,0,1A指向点3,2,2B方向的方向导数124.设D是222xya所围成的区域,则22Dxyd42a5.设L是抛物线2yx介于点0,0与点1,1之间的那一段弧段，则曲线积分Lyds55112二、（本题7分）证明函数242,,0,0,0,,0,0xyxyxyfxyxy在点0,0不连续，但存在有一阶偏导数解因为2224424242000lim,limlim1xykxykxxxxykxkfxyxyxkxk与k有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数,fxy在点0,0不连续。又00,00,0000,0limlim00xxxfxffxx，或000,0,000xxxxxffx000,0,0000,0limlim00yyyfyffyy，或00,000yyyf共8页第2页于是函数,fxy在点0,0存在有一阶偏导数。三、（本题7分）设ln0xzzy,求2,,zzzxyxy解令,,lnxzFxyzzy，则211,xyyzFFzzyy2211zxyxFzzyzz，于是用公式得22211,11()yxzzFFzzzzyzxxxFxzyFyxzzzzz2222200()()yyzzxzzxzzzxyxzyxzzzzxyyxyxzxzxz22232333zxzzzzxzzxzyxzyxzyxz四、（本题7分）计算二重积分22max,xyDedxdy，其中(,)01,01Dxyxy解被积函数2222max,,01,,01xxyyeyxfxyeexy有,,fxyfyx而积分区域关于yx对称，取1(,)01,01Dxyxyx从而22222111max,0000222xxxyxxxDDedxdyedxdydxedyeydx222111200021xxxexdxxedxee五、（本题7分）设为两球2222222,2xyzRxyzRz的公共部分，计算三重积分2zdv解由222222222223,2,,242xyzRRRzRzxyRxyzRz共8页第3页当02Rz时用垂直于z轴的平面截区域得到截面为圆域2222xyRzz，当2RzR时用垂直于z轴的平面截区域得到截面为圆域2222xyRz，于是分段先二后一积分，得/22220/22222RRRzdvzRzzdzzRzdz/23422440/22111522342412RRRRzzRzzR六、（本题8分）计算曲线积分323sin3xLxxyxedxyydy，其中L为摆线sin1cosxttyt从点0,0O到点,2A的弧。解由于32223,sin3xPQxPxyxexyyxyyxxy补两条直线1212:,:20;:0,:0;LxyLyxLLl是逆向的闭曲线，故原式1232223sin3xDLLxxxdxdyxyxedxyydy003220sin033xyydyxxedx2300sin33xyydyxedx2233200000022cos33coscos3333xxxyydyxeedxyyydyee33200222cos2sin3332cos2sin233333yeeeee或由曲线积分与路径无关，直接得原式12323sin3xLLxxyxedxyydy2300sin33xyydyxedx得或取12:,:0lyxx，由曲线积分与路径无关，直接得，原式13322022223sin3sin33xxlxxxxxxyxedxyydyxxedxdx共8页第4页233200002222213sin13sin33xxxxxxxxxedxdxdxxedxyydy2430004223sin2cos2sin2313343xxxedxyydye或者由323sin3xxxyxedxyydy是全微分表达式，凑微分，因xxxxxxxedxxedxxeedxxeec及sincoscoscoscossinyydyyydyyyydyyyyc得33223sin3sin33xxxxxyxedxyydyxydxdyxedxyydy333cossin3xxxydxeeyyy原式,2,23320,00,03sin33cossin33xxxxxyxyxedxyydyxeeyyy33022332cos2sin22cos2sin231333eeee七、（本题8分）计算曲面积分323232222xxydydzyyzdzdxzzxdxdy，式中是上半球面2220zaxya的上侧解补一个平面2221:0zxya，取下侧，则原式12223232325222xyzdvxxydydzyyzdzdxzzxdxdy2/25/222250000005sin05cos025aaDrddrrdrdxdya另法（看看:归一化，多次换元够烦的）即22220xyza，上半球面指向上侧法线为2,2,2nxyz，从而,,cos,cos,cos,cos0xyznaaa222:Dxya,原式=323232coscos222coscosxxyyyzzzxdxdy共8页第5页323232222xyxxyyyzzzxdxdyzz422422422222dxdyxxyyyzzzxz2422422222222222222Ddxdyxxyyyxaxyaxyaxy2244422442222222002coscossin2sin2ardrdrrrrararar22242242222002coscossin2sin22adtdttatatat2224224222002coscossin2sin22adudauauuuu22422442222002coscossin2sin232adudaauuauuu242244224224002coscossin2sin23adaavvavvdv24224225021132cos4cossin2sin5cossin13535ad222550085sin24854221cos41541515815adad22255550008115411cos41cos4sin42158815312adadaa八、（本题7分）求定解问题cos2tan20,1xxdyxeyydx的解解标准化coscot2xdyyxedx，由标准方程的解的公式，得coscoscoslnsincoslnsincossinsin1222sinsinxxdxdxxxxxxxxyeeedxceeedxcexdxcxcoscos112cos2sinsinxxedxcecxx共8页第6页由初值条件，有01122,11eccc，于是特解为cos112sinxyex九、（本题7分）求微分方程44xyye的通解解对应的齐次方程为240rr，解得特征根120,4rr非齐次项4xfxe，与标准形式xnPxe比较，从而得0,4n是单根，从而1k，可设特解为*4kxxyxaeaxe，从而*444414xxxyaeaxeaxe，*4444414424xxxyaeaxeaxe，代入原来的微分方程，得444424414xxxaxeaxee即14244141,41,4axaxaa于是根据解的结构定理得，所求通解为441214xxyccexe十、（本题7分）设函数fx在,内有连续的导数，且满足222222242xytftxyfxydxdyt。求fx解用极坐标2243400024,00ttftdrfrrdrtrfrdrtf两边求导得3344fttftt，标准化为3344fttftt于是3344444433144tdttdtttttftetedtcetedtceec由00f得00110,eecc，故4441111xxxfxeee十一、[非化工类做]（每小题3分，共15分）（1）判别无穷级数1/2101nnxdxx的收敛性。解由于210,11xxn，故1/1/322002210,0113nnxxxdxxdxxxn而312213nn是收敛的312p的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数1/2101nnxdxx收敛。共8页第7页（2）求幂级数1132nnnnxn的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。解比较标准幂级数，得11