立体几何中用传统法求空间角

1-立体几何中的传统法求空间角知识点：一．异面直线所成角：平移法二．线面角1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA三．求二面角的方法1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；2、三垂线法找二面角的平面角.例一：如图,在正方体1111ABCDABCD中,M、N分别是CD、1CC的中点,则异面直线1AM与DN所成的角的大小是______90______.考向二线面角例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。练习：如图，在三棱锥PABC中，PA底面,,60,90ABCPAABABCBCA，点D，E分别在棱,PBPC上，且//DEBC（Ⅰ）求证：BC平面PAC；（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又90BCA，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴12DEBC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，NMB1A1C1D1BDCA2∴△ABP为等腰直角三角形，∴12ADAB，∴在Rt△ABC中，60ABC，∴12BCAB.∴在Rt△ADE中，2sin24DEBCDAEADAD，考向三：二面角问题在图中做出下面例题中二面角例三：.定义法（2011广东理18）如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点．（1）证明：AD平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值．法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有PGAD，在ABD中，1,60ABADDAB，有ABD为等边三角形，因此,BGADBGPGG，所以AD平面PBG,.ADPBADGB又PB//EF，得ADEF，而DE//GB得ADDE，又FEDEE，所以AD平面DEF。（2）,PGADBGAD，PGB为二面角P—AD—B的平面角，在2227,4RtPAGPGPAAG中在32RtABG中,BG=ABsin60=法二：（1）取AD中点为G，因为,.PAPDPGAD又,60,ABADDABABD为等边三角形，因此，BGAD，从而AD平面PBG。延长BG到O且使得POOB，又PO平面PBG，POAD，,ADOBG所以PO平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系。3设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22PmGnAnDn则由于33(0,1,0),(,0,0),(,0,)2242nmADDEFE得0,0,,,ADDEADFEADDEADFEDEFEEAD平面DEF。（2）13(,,),(,0,)22PAnmPBnm取平面ABD的法向量1(0,0,1),n设平面PAD的法向量2(,,)nabc由22330,0,0,0,2222bbPAnacPDnac得由得取23(1,0,).2n2、三垂线定理法例四．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，11ADAA，2AB，点E在棱AB上移动．（1）证明：11DEAD；（2）当E点为AB的中点时，求点E到平面1ACD的距离；（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4？18．（本小题满分14分）（1）证明：如图，连接1DB，依题意有：在长方形11AADD中，11ADAA，1111111111111AADDADADADADBABAADDABADADDEDEADBADABA四边形平面又平面平面．………4分4∴点E到平面1ACD的距离为13．…………………………………………………8分（3）解：过D作DFEC交EC于F，连接1DF．由三垂线定理可知，1DFD为二面角1DECD的平面角．∴14DFD，12DDF，111DDDF．………………………10分1sin26DFDCFDCFDC，∴3BCF．……………………12分∴tan33BEBEBC，23AEABBE．故23AE时，二面角1DECD的平面角为4．……………………………14分练习.如图，在四面体ABCD中，2,2,1ABADBDDC,且BDDC，二面角ABDC5大小为60．(1)求证：平面ABC平面BCD；(2)求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．17．解：(1)在四面体ABCD中，取BDBC、中点分别为MN、，连接MN，则//MNDCBDDC,则MNBD又2ADAB则AMBDAMN中，11,2AMMN60AMN,可知90ANM又BD面AMN,则BDANAN和两相交直线BD及MN均垂直，从而AN面BDC又面ABC经过直线AN，故面ABC面BCD…………………………(6分)(2)由(1)可知平面ABC平面BDC过D向BC作垂线于足H，从而DH面ABC过RtBDC中，2,1BDDC，则25DH于是DC与平面ABC所成角即DCH因此直线CD与平面ABC所成角的正弦值为255.…………………………(12分)