抛物线焦点弦经典性质

抛物线焦点弦经典性质10条通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦),(11yxB),(22yx过抛物线pxy22(p0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A),(11yx、B),(22yx两点性质1：pxxAB21pxxpxpxBFAFAB2121)2()2(性质2：若直线L的倾斜角为，则弦长2sin2pAB证明:(1)若2时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,结论得证pAB2(2)若2时,tank0k设直线L的方程为：()2pykx即2ypxk代入抛物线方程得2220pyypk由韦达定理212122,pyypyyk,122121yypk由弦长公式得1222211212(1)tansinpAByypk性质3：过焦点的弦中通径长最小证明：pp2sin21sin22AB的最小值为p2,即过焦点的弦长中通径长最短.性质4：23()8OABSpAB定值8sin2sinsin2221sin21sin21sin21sin2132220PABSpppABOFBFAFOFAFOFBFOFSSSOABAFOBFOAB证：设直线L的方程为：()2pykx即2ypxk代入抛物线方程得2220pyypk由韦达定理212122,pyypyyk,44)(,2,22222121222211PPyyxxpyxpyx性质5：(1)221pyy(2)x1x2=42p分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜性质8：(1).、AO、B1三点共线(2).B，O，A1三点共线(3).设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴(4).设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴证明：111,AAAFAAFAFA11111//AAOFAAFAFOAFOAFA同理901111FBAFBBFOBA1FB1F性质7：连接A1F、B1F则A1FB1F（1）证：因为pypykyppyyxykoBoA2212111122,221，而221pyy所以122222oBoAkpyyppk所以三点共线。同理可证（2）（3）证：1112:ypOAyxxxy直线令2px，1212211Bpyyyyyy则BB1平行于X轴，同理可证（4）性质9：pFBFA211证明：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为E,的倾斜角为因为直线L则cosEREFFRPAFAF1cosPAFPAFcos11同理可得PBFcos11pFBFA211性质10：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1112ABCDp证明：2pxy2p-xkyL22将其代入方程的方程为时，设直线当22112212222p2x-p(1)x0A(x,y),B(x,y)xx14pkk得设则则12222ABxxppk，同理23422CDxxppk221111122222ABCDppkpk