三角函数的单调性与值域

?第3课时三角函数的单调性与值域【课标要求】掌握正弦函数、余弦函数的图象，理解并掌握它们的奇偶性、值域相关的性质．【核心扫描】1．了解三角函数的单调性和值域．(重点)2．会求函数的单调区间和值域．(难点)自学导引1．正、余弦函数的单调性正弦函数y＝sinx(x∈R)在上是增函数，在上是减函数；余弦函数y＝cosx(x∈R)在上是减函数，在上是增函数．??????2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)??????2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)想一想：“正弦函数在第一象限内是增函数．”这种说法正确吗？提示不正确．单调性是针对某一个区间而言的，在第一象限内，若α1＝α2＋2kπ，在α1≠α2时，sinα1＝sinα2.2．正、余弦函数的最值及值域正弦函数y＝sinx(x∈R)，当x＝时，y最大＝1，当x＝时，y最小＝－1；余弦函数y＝cosx(x∈R)，当x＝时，y最大＝1，当x＝时，y最小＝－1.y＝sinx的值域为，y＝cosx的值域是．2kπ＋π2，k∈Z2kπ－π2，k∈Z2kπ，k∈Z2kπ＋π，k∈Z[－1,1][－1,1]名师点睛1．y＝sinx与y＝cosx单调性(1)正弦函数与余弦函数在定义域上不单调，说“正弦函数(或余弦函数)在第一象限是增(或减)函数”是错误的．(2)正弦函数y＝sinx(x∈R)的增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)的含义是指在k取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数，而不是k取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数．(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如y＝Asin(ωx＋φ)其中A0，ω0的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2，k∈Z，解出x的范围，所得区间即为增区间，若A0，ω0，可用诱导公式将函数化简为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间．2．正(余)弦函数的对称性(1)轴对称：对于正弦函数y＝sinx，x∈R，我们发现函数的图象在每一个最值(最大或最小)点处都有对称轴，方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，而对于余弦函数，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度得到，因此其对称轴方程为x＝kπ，k∈Z.(2)中心对称：对于正弦函数y＝sinx，x∈R，其对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，而对于余弦函数，其对称中心为??????kπ＋π2，0(k∈Z)．对称轴和对称中心都有无数个.题型一求单调区间【例1】求函数y＝sin??????π6－x的单调递减区间．[思路探索]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式将y＝sin??????π6－x化为y＝－sin??????x－π6形式，由于－10只需求y＝sin??????x－π6的单调递增区间即可．解y＝sin??????π6－x＝－sin??????x－π6，由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，∴单调递减区间为??????－π3＋2kπ，2π3＋2kπ，k∈Z.大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点规律方法求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间同上．【变式1】求函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间．解由已知函数为y＝3cos??????x2－π3，欲求函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间，只需求函数y＝3cos??????x2－π3的单调递增区间．由2kπ－π≤x2－π3≤2kπ(k∈Z)，得4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k∈Z)，函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间为??????4kπ－4π3，4kπ＋2π3(k∈Z)．题型二求值域、最值【例2】求下列函数的值域．(1)y＝|sinx|＋sinx；(2)y＝2sin??????2x＋π3，x∈??????－π6，π6.[思路探索](1)先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的值域求解；(2)注意自变量的取值范围．解(1)∵y＝|sinx|＋sinx＝?????2sinx?sinx≥0?，0?sinx0?.又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．(2)∵－π6≤x≤π6，∴0≤2π＋π3≤2π3.∴0≤sin??????2x＋π3≤1.∴0≤2sin??????2x＋π3≤2，即0≤y≤2.故函数的值域为[0,2]．规律方法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而这些方法也适用于三角函数，但要结合三角函数本身的性质(有界性)．【变式2】(1)设sinx＝5t－1，求实数t的取值范围；(2)求y＝asinx＋b(a，b∈R，a≠0)的最值；(3)求y＝cos2x－sinx，x∈??????－π4，π4的值域；(4)求y＝3sinx＋1sinx＋2的最值．解(1)由－1≤5t－1≤1，得0≤t≤25.∴t的取值范围是??????0，25.(2)若a0，则sinx＝1时，ymax＝a＋b；sinx＝－1时，ymin＝b－a.若a0，则sinx＝－1时，ymax＝b－a；sinx＝1时，ymin＝a＋b.(3)y＝－sin2x－sinx＋1，令t＝sinx.∵x∈??????－π4，π4，∴t∈????????－22，22.原函数可化为y＝－t2－t＋1＝－??????t＋122＋54.∴当t＝－12时，有ymax＝54；当t＝22时，有ymin＝1－22.故原函数值域为????????1－22，54.(4)y＝3sinx＋1sinx＋2＝3－5sinx＋2，∵－1≤sinx≤1，∴1≤sinx＋2≤3.∴53≤5sinx＋2≤5，则－5≤－5sinx＋2≤－53.∴－2≤3－5sinx＋2≤43，即－2≤y≤43.∴函数y＝3sinx＋1sinx＋2的最大值为43，最小值为－2.题型三函数的单调性【例3】比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos15π8与cos14π9；(3)sinπ5与cos??????－12π5.审题指导比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．【解题流程】[规范解答](1)∵函数y＝sinx在[90°，270°]上单调递减，且90°250°260°270°，∴sin250°sin260°.(4分)(2)cos15π8＝cos??????2π－π8＝cosπ8，cos14π9＝cos??????2π－4π9＝cos4π9.∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0π84π9π，∴cosπ8cos4π9，∴cos15π8cos14π9.(9分)(3)cos??????－12π5＝cos2π5＝sinπ10，由y＝sinx在??????0，π2是增函数，且π5π10.所以sinπ5sinπ10.故sinπ5cos??????－12π5.(14分)【题后反思】利用诱导公式化到同一单调区间内进行比较．三角函数式比较大小主要是利用三角函数的单调性，要注意两点：(1)同名；(2)同一单调区间．【变式3】比较下列各组数的大小：(1)sin27°与sin155°；(2)cos4与cos2；(3)sin2π7与cosπ5.解(1)sin155°＝sin25°而0°25°27°29°，在0°x90°的范围内，y＝sinx是增函数，∴sin27°sin155°.(2)由于π22π43π2，故4与2不在y＝cosx的同一单调区间内，∴cos4＝cos(2π－4)而022π－4π，在(0，π)上y＝cosx为减函数，∴cos2cos(2π－4)，即cos4cos2.(3)cosπ5＝sin??????π2－π5＝sin3π10，∵02π73π10π2，∴sin2π7sin3π10.∴sin2π7cosπ5.误区警示对复合函数的单调性认识不清而出错【示例】函数y＝sin??????－2x＋π3的递减区间是________．[错解]由y＝sin??????－2x＋π3，得2kπ＋π2≤－2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得到递减区间是??????kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．y＝sin??????－2x＋π3是由y＝sinu与u＝－2x＋π3复合而成的，而u＝－2x＋π3在R上为减函数，故??????kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)是函数y＝sin??????－2x＋π3的递增区间．[正解]y＝sin??????－2x＋π3＝－sin??????2x－π3，即求y＝－sin??????2x－π3的单调减区间，也就是求y＝sin??????2x－π3的单调增区间，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)．故填??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．求三角函数的单调区间，先对三角函数化简变形，使三角函数达到“统一”标准(即一个函数名，一个角，次数为一次)．将x前的系数转为正值利用复合函数单调性求解.单击此处进入活页规范训练