【小奥】2016同步讲义-五年级春季(共15讲)-第08讲-沙漏与金字塔(2)

精品welcome一、沙漏与金字塔（五下）如图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB平行于线段CD，如图2所示．大沙漏中，我们总结出了如下性质：ABAOBODCDOCO．这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．太阳纸片桌面上的太阳DCBAO图1图2第8讲沙漏与金字塔知识点精品welcome在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为:ab，四个三角形的面积之比为22:::aababb．我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．一、沙漏与金字塔认识1、如图，AB与CD垂直，交点为O．已知4AO，3CO，5AC，15BD．求△BOD的面积．abab沙漏模型金字塔模型AODCB例题精品welcome【答案】54【解析】由沙漏模型知，13ACAOCOBDOBOD，所以3412OB，339OD．又因为△BOD中OB和OD垂直，所以△BOD的面积是912254．2、如图所示，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【解析】由于下底长是上底长的2倍，因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4，阴影三角形的面积是436161224．3、如图，梯形ABCD中，:2:5ABCD．已知△COD的面积是5，那么梯形的面积是多少？BOACBD精品welcome【答案】9.8【解析】如图所示，梯形中各部分的面积份数．因为△COD的面积是5，所以梯形的面积是52541010259.8．4、如图，直角三角形ABC中，4AB，6BC．又知:1:3BEEC，求△CDE的面积．【答案】6.75【解析】AODCBAODCB4101025AEDCB精品welcome由金字塔模型知，::3:4DEABCECE，则3434DE．又知道364.54CE，可求出△CDE的面积为34.526.75．5、图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．【答案】2107平方分米【解析】阴影部分是一个直角三角形，其中一条直角边的长度是6分米，另一条直角边的长度是6248687分米，面积是246271027平方分米6、已知三角形ADE的面积为3平方百米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】13.5AOEDCB精品welcome【解析】由金字塔模型知，::1:3ADABDEBC，设△ODE的面积为1份，则△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份．又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为32913.5平方厘米．二、综合应用7、如图，平行四边形ABCD的面积是90．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．【答案】33【解析】由沙漏模型可知，:::2:3BECDBOODEOOC，设△OBE的面积为4份，则△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个平行四边形面积的一半，因此平行四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．8、如图，两个等腰直角三角形拼在一块形成一个四边形，小等腰直角三角形直角边长为1，阴影部分的面积为多少？AOEDCB精品welcome【答案】13【解析】如图所示，△ABC的面积是△ACD面积的一半，所以:1:2ABCD．根据沙漏模型知，::1:2AOOCABCD，所以阴影部分的面积是△ABC面积的23，即21211233．9、如图，在三角形ABC中，D、E为AB、AC的三等分点，DF、EG分别垂直BC于F、G，矩形DEGF面积为6，那么三角形ABC面积为__________．【答案】13.5AODCBCGFBEDA精品welcome【解析】过A向BC边做垂线，设交于点P．由D是BA三等分点可知F为BP三等分点，可知矩形左半部分为△ABP面积的49，同理可得右半部分．矩形总面积为△ABC面积的49，可得△ABC面积为13.5．10、如图19-24，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，已知正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．【答案】10平方厘米．【解析】设AE、AF与对角线BD的交点分别为M、N；12BMBEDMAD，因此13BMBD；同理13DNBD，因此13MNBD；116010332AMNABDSS△△平方厘米．PCGFBEDAACDEFB精品welcome11、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．【答案】45平方厘米【解析】1212722GEFS△平方厘米，8125123EOBEGOGF，55538EOEG，因此5=458GEFEOFSS△阴影△平方厘米．1、如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．【答案】27平方厘米【解析】上底与下底之比是1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分ABCDEFOGH随堂练习精品welcome的面积是481339927平方厘米．2、如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点．求△AOD的面积．【答案】12【解析】连接DE，因为BE与AD之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD的面积是正方形面积的13，是12．3、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？AEODCBAEODCB14232AHGFEDCB精品welcome【答案】40013【解析】58AHADHGBG，那么△ABH与△BGH的面积之比也是5:8，△ABH的面积是△ABG面积的513．△ABH的面积是5400101621313．4、如图，EF和BC平行，:1:2AEEB．已知2AF，3EF，那么CF的长度是多少？AC的长度是多少？BC的长度是多少？【答案】4，6，9【解析】12AEAFEBFC，可求出4CF，6AC．13EFAEBCAB，可求出9BC．1、如图所示，AB与CD平行．已知:3:4ABCD，6AO，那么OC__________．BFECA课后作业精品welcome【答案】8【解析】由沙漏模型知，::3:4ABCDAOOC，6AO，则8OC．2、如图所示，AC与BD平行，AB与CD垂直，交点为O．已知2AO，4OB，3OC，则△OBD的面积是△AOC面积的__________倍．【答案】4【解析】由沙漏模型知，::1:2AOOBOCOD，3OC，则6OD．由三角形面积公式，△OBD的面积是46212，△AOC的面积是2323，所以△OBD的面积是△AOC面积的4倍．AODCB精品welcome3、如图所示，BC与DE平行．已知4AD，5BD，16DE，则BC__________．【答案】36【解析】由金字塔模型，::4:9ADABDEBC，16DE，则36BC．4、如图所示，DE与BC平行，已知4AD，5BD，△ADE的面积为32，则四边形DECB面积为_________．【答案】130【解析】:4:9ADAB，则:4:9AEAC，△ADE是△ABC面积的1681，则△ABC的面积为162，四边形DEBC的面积为130．5、如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是精品welcome_________．【答案】18【解析】上底与下底的长度比是2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO的面积为18．6、如图所示，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积为_________．【答案】13.5【解析】由沙漏模型可知，::1:3BEADBOOD，△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为366213.54．AOEDCB精品welcome7、如图，平行四边形ABCD的面积是12，13DEAD，AC与BE的交点为F，那么图中阴影部分面积是__________．【答案】4.4【解析】:2:3AEBC，设份数如图，可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为11124.430．8、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．【答案】19.241196HFECDGBA精品welcome【解析】由条件知，:2:3ADBG，:2:3DHHB，△ABH的面积为388219.25．9、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．【答案】10.8【解析】::3:2DHHCADCG，可求出AD的长为63233.6，阴影部分的面积是63.6210.8．10、如图，一个动物园的形状是梯形，两条对角线正好把动物园分成4个区．已知爬行类区的面积是鸟类区面积的2倍．两栖类区中池塘的面积占两栖类区面积的13．请问这个动物园中陆地面积和池塘面积之比是多少？【答案】23:4AHGFEDCB精品welcome【解析】可知梯形的上下底之比为1:2，则四个区的面积依次为1、2、2、4份，池塘面积为43份，陆地面积为233份，陆地与池塘的面积之比为23:4．