无穷乘积

1、高等微积分讲义6.1第6讲无穷乘积作为对无穷级数的一种推广，这里介绍无穷乘积的概念与性质。1定义与性质定义：1）121nnnpppp∞==∏称为无穷乘积；2）部分乘积121nnknkPpppp===∏；①有非零极限（有限）P，无穷乘积收敛；②有零极限，无穷乘积发散；③无极限，无穷乘积发散。由于定义②，因而假定无穷乘积的一般项0np≠。例1.无穷乘积∏∞=12cosnnϕ收敛。解：①0ϕ=，则：1cos12nnϕ∞==∏（显然）②0ϕ≠，则：211coscoscoscos2sin222222sin2sinsin2sin2nnnknnnknnnPϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===⋅⋅⋅=→∏例2.∏∞=11nn发散到零。（显然）2收敛无穷乘积的性质1)若：1nnp∞=∏收敛，则余积11nkknp∞=+∏=→∏。证明：显然：1nnPP∏=→，（0P≠）。2)若1nnp∞=∏收敛，则1np→（必要条件）无穷乘积6.2证明：11nnnPpP−=→。3)无穷级数1nnp∞=∏，则改变有限项的值（不变为零）后不改变无穷乘积的收敛性。由于有性质2)及3)，下面讨论中为了方便，假设0np。3收敛判别法下面讨论。

2、无穷乘积的收敛判别法。1)1nnp∞=∏收敛⇔1lnnnp∞=∑收敛，且：1ln1nnpnnpe∞=∞=∑=∏。证明：记：1lnnnkkLp==∑，1nnkkPp==∏；则：lnnnLP=，nLnPe=，因而结论成立。证毕1)*1nnp∞=∏发散到零⇔1lnnnp∞=∑发散到−∞。2)设n∀∈N，1nnpa=+，若N∃，nN时，0na（或0na），则：()111nnnnpa∞∞===+∏∏收敛⇔1nna∞=∑收敛。证明：“⇒”()11nna∞=+∏收敛，则：0na→，由1）：()1ln1nna∞=+∑收敛，无妨设0na，由于()ln1lim1nnnaa→∞+=，由正项级数比较判别法知：1nna∞=∑收敛。“⇐”∑∞=1nna收敛，则0na→。无妨设0na，由()ln1lim1nnnaa→∞+=，则：()1ln1nna∞=+∑收敛，由1）()11nna∞=+∏收敛。证毕3)若级数∑∞=1nna及∑∞=12nna均收敛，则无穷乘积()11nna∞=+∏收敛。高等微积分讲义6.3证明：由于∑∞=1nna收敛，则0→na，考虑到：()()22ln1ln11limlim2nnnxnaaxxax→。

3、∞→∞−+−+==，因而由正项级数之比较判别法，级数()()1ln1nnnaa∞=−+∑收敛；又由级数运算性质，∑∞=1nna收敛，推出：()1ln1nna∞=+∑收敛，即：()11nna∞=+∏收敛。证毕例3.讨论无穷乘积111xnn∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∏的收敛性。解：由于01xn，考虑级数：∑∞=11nxn在1x时收敛，1x≤是发散；所以无穷乘积111xnn∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∏在1x时收敛，1x≤是发散。例4.0ab，求证：()()()()1lim01nbbbnaaan→∞++=++证明：考虑001nnbnbaanna∞∞==+−⎛⎞=+⎜⎟++⎝⎠∏∏，而−∞=+−∑∞=1nanab，因而：01=++∏∞=nnanb；即结论成立。无穷乘积6.4§2习题1.设1nnp∞=∏与1nnq∞=∏收敛，下列无穷乘积是否收敛？1)()1nnnpq∞=+∏；2)1nnnpq∞=∏；3)21nnp∞=∏；4)1nnnpq∞=∏。2.令21kuk=−，2111kukk−=+，则：1nnu∞=∑与21nnu∞=∑均发散，但()11nnu∞=+∏收敛。3.讨论下列无穷乘积的收敛性：1)22211pnnn。

4、∞=⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠∏；2)111nnn∞=+∏；3)()1lnlnnnnxn∞=+−∏，0x；4)22341nnn∞=−−∏；5)()11nnna−∞=∏，0a；6)012nnn∞=++∏。4.证明：若21nna∞=∑收敛，则1cosnnx∞=∏收敛。5.证明：若1nna∞=∑绝对收敛，则1tan4nnaπ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∏收敛，其中4naπ。。