收敛级数的性质

高等微积分讲义5.1第5讲收敛级数的性质§1结合律收敛级数的结合律在叙述级数的性质时就已经讲到了，这里为了统一起见，我们仍将这一性质列在这里。一个收敛的级数对其相邻的项进行任意方式的结合以后，新级数仍然收敛到原来的级数和。特别需要强调的是，该命题的逆命题不成立。§2交换律、Riemann定理实数进行有限次的加法或乘法运算，有结合律，也有交换律。这是众所周知的事实。上面说到实数的结合律可以推广到无穷多项求和的情形，交换律如何呢？首先我们引入下列记号：设1nna∞=∑为一任意项级数，则级数1nna∞+=∑称为级数1nna∞=∑的正部，其中2nnnaaa++=；级数1nna∞−=∑称为级数1nna∞=∑的负部，其中2nnnaaa−−=。显然，我们有：引理：级数1nna∞=∑绝对收敛⇔1nna∞+=∑及1nna∞−=∑均收敛；级数1nna∞=∑条件收敛⇒1nna∞+=∑及1nna∞−=∑均发散。证明：1)级数1nna∞=∑绝对收敛⇔1nna∞=∑及1nna∞=∑均收敛，由级数收敛的四则运算法则，这等价于级数1nna∞+=∑与1nna∞−=∑均收敛；2)级数1nna∞=∑条件收敛⇔级数1nna∞=∑发散，级数1nna∞=∑收敛，由级数收敛的四则运算法则，可以推出级数1nna∞+=∑与1nna∞−=∑均发散。证毕我们再回到级数的交换律的问题上来。级数和中，两项交换次序表示级数“更序”，下面就来讨论一个级数“更序”以后得到的“更序级数”的性质：收敛级数的性质5.2定义：级数1nna∞=∑的更序级数1nna∞=′∑是指：存在一一的满映射：()()::fnfn=NfNN，使得：()nfnaa′=。更序级数也称为级数的重排。更序级数的收敛性与原级数的收敛性之间有何关系呢？下面的定理告诉我们，对于绝对收敛的级数，级数的求和次序是可以交换的：定理1：设级数1nna∞=∑绝对收敛，则1nna∞=∑的任一更序级数1nna∞=′∑仍绝对收敛，并且：11nnnnaa∞∞==′=∑∑。证明：1)设更序级数()nfnaa′=，则一般有：()111nnknfkkknaaa∞===′=≤∑∑∑，因此，1nkka=′∑有界，级数1nna∞=′∑绝对收敛，即：任意更序级数仍然是绝对收敛的。由上面的讨论可知：11nnnnaa∞∞==′≤∑∑；反过来，1nna∞=∑也是1nna∞=′∑的更序级数，因而同理有：11nnnnaa∞∞==′≤∑∑，由此推出：11nnnnaa∞∞==′=∑∑。2)要证：11nnnnaa∞∞==′=∑∑，考虑：na的正部和负部na+和na−以及na′的正部和负部na+′和na−′，显然：1nna∞+=′∑是1nna∞+=∑的重排，而1nna∞−=′∑是1nna∞−=∑的重排，有引理知：1nna∞+=∑是绝对收敛的，又由1)知级数1nna∞+=′∑绝对收敛，并且：11nnnnaa∞∞++==′=∑∑，同理：11nnnnaa∞∞−−==′=∑∑。因此：111111nnnnnnnnnnnnaaaaaa∞∞∞∞∞∞+−+−======′′′=+=+=∑∑∑∑∑∑。证毕附注：若1nna∞=∑是条件收敛的，则上述结论不能成立。高等微积分讲义5.3例1.Leibniz级数()111ln2nnn−∞=−=∑是条件收敛的，它不能重排。解：考虑上述级数的重排：1111111112436851012−−+−−+−−+（一正两负）其部分和：31111111112436821424111111246842411111112234212nSnnnnnnn=−−+−−++−−−−=−+−++−−⎛⎞=−+−++−⎜⎟−⎝⎠显然有：31ln22nS→，同理：311ln22nS+→，321ln22nS+→，因此重排后的级数收敛到1ln22。上述例子说明条件收敛的级数重排后可以收敛到另外的和数。一般地，条件收敛级数的更序级数可以收敛到任意的和数，这就是下面的Riemann定理：定理2：（Riemann）设级数1nna∞=∑条件收敛，则A∀∈R，（A可以是有限或±∞），na∃的重排na′，使得：1nnaA∞=′=∑。证明：1)A有限，无妨假设0A。由于1nna∞+==+∞∑，1nna∞−==−∞∑，（为了叙述方便起见，两个级数中均去掉等于零的项），则我们有：1m∃，使得：111mkmkAaAa++=≤+∑，（加到第1m项刚刚比A大）同理，1n∃，使得：11111mnnkkkkAaaaA−+−==++≤∑∑，依次继续下去，,llmn∃，使得：111122111111lllllllmnmmnkkkkkmkkkmknkmAaaaaaAa−−−−−+−+−++===+=+=+≤++++++∑∑∑∑∑，11111111lllllmnmnnkkkkkkkmknAaaaaaA−−−+−+−===+=++++++≤∑∑∑∑，由于一般地，收敛级数的一般项趋于零，即：lim0nna+→∞=，lim0nna−→∞=，因此由上述次序构成的更序级数：收敛级数的性质5.411121211111111llllmnmmnnmmnnaaaaaaaaaaaa−−++−−++−−++++−−++++++++++++++++++++收敛至A。2)A=+∞。与1)同理，由1nna∞+==+∞∑，1m∃，使得：1111maaa++−+−，2m∃，使得：11211122mmmaaaaaa++−++−++++++−，以此类推，lm∃，使得：112111121llmmmmmlaaaaaaaala−++−++−++−++++++++++++−，这样经过重排的级数：112111121llmmmmmlaaaaaaaaa−++−++−++−++++++++++++++发散到+∞。3)A=−∞，与2)同理。证毕§3分配律考虑两个级数的乘积：11nnnnab∞∞==×∑∑。它是否与有限项和数的乘积一样，有对加法的分配律呢？我们先来看这两个级数逐项相乘一共有多少项：1211121121222212nnnmmmnmaaababababbabababbababab上述所有的项相加在一起就是两个级数相乘以后得到的新级数了。问题在于：上述各项是无序的，根据不同的排序可以构造出不同的级数，最常见的有如下两种排法：高等微积分讲义5.51）对角线排法2）正方形排法112131122232132333ababababababababab112131122232132333ababababababababab↓↓←↓←←在什么条件下这些不同排法组成的级数收敛？下面的定理部分地回答了这一问题：定理3：设级数1nnaA∞==∑，1nnbB∞==∑均绝对收敛，则由ijab（1,2,i=，1,2,j=）组成的级数（按任意排法）均绝对收敛到AB。证明：首先：将无穷级数按任意排法排列为：1kkmnkab∞=∑（km和kn独立取遍自然数），则其部分和为：1kkssmnkCab==∑。要证该级数绝对收敛，考虑到：1122111112211111kksssmnmnmnmnkppqpqpqkkkkkkkkabababababababababababab=∞∞=====+++≤+++++++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=≤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑ii其中：1maxkkspm≤≤=，1maxkksqn≤≤=。由于级数1nna∞=∑与1nnb∞=∑均为绝对收敛的，因而上式右端有界，即级数1kkmnkab∞=∑是绝对收敛的。其次，由于级数是绝对收敛的，由Riemann定理，任意排法的级数和均为同一和数，因此我们可以按正方形排法来计算级数和如下：()()()1121221211121221231323323131211111limlimkkmnknkkkkkkknknnkknkkababababababababababababababababababababAB∞=−→∞=→∞===++++=+++++++++=++++++⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑i证毕如果两个级数不是绝对收敛的，结论有什么不同呢？下面的定理部分地回答了这一问收敛级数的性质5.6题：定理4：设级数1nnaA∞==∑绝对收敛，1nnbB∞==∑条件收敛；令：121111nnnnnknkkcabababab−+−==+++=∑，则级数1nnc∞=∑收敛到AB。证明：记：1nnkkAa==∑，1nnkkBb==∑，1nnkkSc==∑，考虑到：1111111111111nnknkikikkinnnnnninikiikiijiniikiikiijiScababababaB+−===+−+−+−+−=======⎛⎞==⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑由于：nBB→，令：nnBBβ=+，则有：0nβ→，因而：1111111nnnnniniiinininiiiiiSaBaBaABaββ+−+−+−======+=+∑∑∑∑，又因为：nAA→，根据上式，我们只需要证明：110nniniiraβ+−==→∑即可。要证0nr→，由已知：①0na→，0nβ→；②1naaM++≤有界，（由于1nna∞=∑绝对收敛）由定义：0ε∀，N∃，nN时，nMβε，因此：()121112111111111nnnnnnnNNnNNnnNnNNnnNNnraaaaaaaaaaaaMaaββββββββεββεββ−−−+−+−−+−+=+++≤++++++++++++++固定N，令n→+∞，因而有：limnnrε→∞≤，由ε之任意性，推出：lim0nnr→∞=，即：0nr→。证毕例2：由于级数1111nnqq∞−==−∑，当1q时绝对收敛，所以级数221111⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∞=−qqnn也是绝对收敛的，由此：高等微积分讲义5.7()()2111112111111nnknknnnknqqqnqq∞∞∞−+−−−−====⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑i其中第二个等式采用了对角线求和并加括号的算法，即级数11nnnq∞−=∑绝对收敛于()211q−，1q。收敛级数的性质5.8§4习题1.求()111nnn−∞=−∑的更序级数111111321242pq+++−−−−+−的级数和。2.求证级数()111nnn−∞=−∑的Cauchy乘积是收敛的。3.利用级数性质讨论数列的收敛性：1)()21ln1ln2nnkkxnk==−∑；2)11122nxnn=+++−。4.设1x，1y，证明：()()()1211111nnnnxxyyxy∞−−−=+++=−−∑。5.证明：()000!!!nnnnnnxyxynnn∞∞∞===+=∑∑∑。6.可以作出条件收敛级数的更序级数，使其发散到+∞。