高等数学 《微积分（下）》自测卷4

1《微积分（下）》自测试卷4（时间120分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分],fxy在00,xy的一阶偏导数连续是,fxy在00,xy可微的条件2．[3分]幂级数211!nnnxn在,的和函数fx3．[3分]幂级数044nnnxn的收敛半径为4．[3分]设22,fxyxyxyxy，则(,)fxyx，(,)fxyy5．[3分]设区域222,Dxyxya，当a时，二重积分222Daxydxdy6、[3分]方程245cosxyyyex的特解形式可设为二、计算1、[4分]求(,)(0,0)42limxyxyxy2、[5分]设,yzFxyx，其中,Fuv具有一阶连续偏导数，求z的全微分3、[6分]设2222,,0,0,0,,0,0xyxyxyxyfxyxy，求0,0,xxf0,0,yyf0,0,xyf4、[6分]求22,DxdxdyDy由1,,2xyyxx所围5、[6分]求由曲面22zxy及22zxy所围立体的体积6、[7分将函数ln2fxx展开为x的幂级数，并写出收敛范围27、[6分]判别正项级数31213nnnn的敛散性8、[7分]求微分方程2620yxyy的通解9、[7分]设fx函数在(,)内满足关系2sinfxxfx，且曲线yfx与x轴切于点,02，求fx10、[8分]某公司的甲乙两厂生产同一种产品，月产量分别为,xy（千件），甲厂的月生产成本为2125cxx（千元），乙厂的月生产成本为2123cyy（千元），若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最少，求各厂的最优产量及相应的最优成本。三、证明题1、[5分]设函数fu处处连续，且满足22,,0xyxxyyxy，求证：,zfxy满足220zzxyxy2、[7分]设()fx连续，求证：2111bxbnnaaadxxyfydybyfydyn3、[8分]设420tan,2nnnnnaaaxdxb，证明：级数1nnb收敛参考答案及提示一、充分，绝对收敛；2*2313;;1,2;;cossin42xxeyyxeaxbx二、211;,,;4uvuvyydzFFdxFFdyuvxyxxx用定义0,00xf，,00xfx，0,xfyy，0,00xxf，0,01xyf；12;;461ln2ln2ln1ln222;22nnnxxxxn收敛；232yxcy；cos2sincos2;5,3,20183842xfxxxxxy三、1、2、略；3、提示：12111,11nnnaabnnnn，用比较判别法