验算点法

结构可靠度谢楠设极限状态方程为R-S＝0,R和S相互独立RRRRsm-=′SSSSsm-=′对R和S进行标准正态化处理后，得到相应的标准正态随机变量R′和S′复习R和S用R′和S′表示为RRRRms+′=SSSSms+′=代入功能函数表达式,得0＝—＋—SRSRSRmmss′′为关于R´和S´的直线方程0222222=+--′++′+-SRSRSRSSRRSRssmmssssss(为法线式极限状态方程)S’*ˊrˊ*ORˊSˊP*极限状态方程ˊR′qS′q22SRSRPOssmm+-=′*2*2*sr′+′=bP*称为设计验算点b=1.在标准正态坐标系下，线性失效线或面上到坐标原点距离最近的点为设计验算点，其间的距离为可靠指标。2.在标准正态坐标系下，失效曲线或曲面上到坐标原点距离最近的点为设计验算点，其间的距离可近似等于可靠指标。结论β误差分析在标准正态空间坐标系下非线性的极限状态方程P*∫∫=-=dsdr)s,r(f]0SR[PP0Zf失效域可靠域实质：用过P*的切线或切平面代替非线性的失效面，进行可靠性分析结论的适用条件：.弱非线性β误差分析线性极弱非线性较弱非线性在标准正态空间坐标系下解析几何法（验算点法)设计验算点P＊在标准正态空间的位置Oˊ失效曲面θx3θX1Xˊ3Xˊ1Xˊ2P*θX2*1x′*2x′*3x′过P*的切平面实质：用过P*的切平面代替失效曲面o＇在标准正态空间坐标系下0)xX(Xg)x,,x,x(gn1i*iipi*n*2*1*=′-′′∂′∂+′′′′∑=L∑=-′′∂′∂niipiXXg1*0xXgn1i*ipi*=′′∂′∂∑=化简后得线性失效面过P*的切平面方程：功能函数在P*做台劳级数展开，取常数项和一次项在标准正态空间坐标系下随机变量？系数？常数？原点O′到超平面的法线和坐标向量的方向余弦为∑=′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∂′∂′∂′∂-=nipipiXXgXgi12**cosq(1)在标准正态空间坐标系下验算点的坐标、β及方向余弦间存在以下关系:iXix′=′qbcos*0),,,(**2*1=′′′′nxxxgL验算点满足:(2)(3)在标准正态空间坐标系下0),,,(**2*1=nxxxgLiiiXXXix′+=qbsmcos*∑=′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂-=niXpiXpiXiiiXgXg12**cosssq(4)(5)(6)在原正态空间坐标系下已知：Xi(i=1，2，……，n)的统计参数μXi、σXi及概率分布类型，极限状态方程g(X1,X2,……,Xn)=0假定：设计验算点P＊的坐标值xi*（可取μXi）按式（4）求出COSθXi将COSθXi代入式（5），得出关于β的xi*的表达式将关于β的xi*的表达式代入式（6），求出β,继而求出xi*上次与本次求得的β之差≤允许误差以本次求出的xi*本次求得的β即为所求的可靠指标，xi*为P＊的坐标值YesNo例题一钢梁承受活载和恒载，在截面塑性铰处的功能函数为)(),,,(43214321XXXXXXXXg+-=已知上述变量统计独立，服从正态分布,X1～N（2.2，0.222），X2～N（2.0,0.32），X3～N（1.0,0.052），X4～N（1.0,0.352）试用验算点法求可靠指标设X5=X3＋X4，X5服从正态分布0.2435=+=XXXmmm3536.024235=+=XXXsss521521),,(XXXXXXgZ-==1*211*XXpxXgss-=∂∂-*222.0x-=*12*1223.0*xxXgXXp-=-=∂∂-ss3536.0555*==∂∂-XXpXgss准备工作：在原正态空间坐标系下255222211***⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=++XpXpXpXgXgXgmsss设125.009.00484.02*12*2++=xxmxX*2122.0cos-=′qmxX*123.0cos-=′qmX3536.0cos5=′q在原正态空间坐标系下1111*1cos22.02.2cosXXXXx′′+=+=qbqbsm2222*2cos3.0.2cosXXXXx′′+=+=qbqbsm5555*5cos3536.02cosXXXXx′′+=+=qqbsm失效面可写为：0coscos066.0cos3536.0cos66.0cos44.04.2225121=+-++′′′′′XXXXXqqbqbqbqb在原正态空间坐标系下第一次迭代：设1*1Xxm=2*2Xxm=3*3Xxm=4*4Xxm=5067.0cos1-=′Xq7600.0cos2-=′Xq4071.0cos5=′Xq002541.07245.04.22=+-bb033.3=b解得在原正态空间坐标系下第二次迭代：8619.1)5067.0(033.322.02.2*1=-××+=x3085.1)7600.0(033.33.0.2*2=-××+=x4375.24071.0033.33536.02*5=××+=x3992.0cos1-=′Xq7747.0cos2-=′Xq4904.0cos5=′Xq002414.06904.04.22=+-bb004.3=b解得在原正态空间坐标系下第三迭代：9361.1*1=x3019.1*2=x5208.2*5=x3882.0cos1-=′Xq7872.0cos2-=′Xq4792.0cos5=′Xq003.3=b解得在原正态空间坐标系下随机变量不服从正态分布的情况wJCSS的建议:基于可靠指标和设计验算点在标准正态坐标系的几何意义，先对非正态分布的随机变量在设计验算点做当量化处理，将非正态分布的随机变量当量正态化为正态分布的随机变量，然后按前面介绍的验算点法求解可靠指标。当量正态化的条件w当量正态随机变量Yi的分布函数值FYi(xi*)等于Xi的分布函数值FXi(xi*)；wYi的概率密度值fYi(xi*)等于Xi的概率密度值fXi(xi*)由两个条件可以列出两个方程，以确定正态随机变量Yi的均值和方差fXi(xi);fYi(yi)0xi*μYiiμXixiyi当量正态分布非正态分布FXi(xi*)=FYi(xi*)fXi(xi*)=fYi(xi*)1.已知功能函数为21]4.12.0exp[)(XXXg-+=)1,0(~,221NXX试估计失效概率，并根据极限状态面的特点，指出估计的失效概率是否大于真实值。-12-10-8-6-4-22x11234567x23490.3=b课堂练习2.受永久荷载作用的薄壁型钢梁,极限状态方程为Z=g(w,f,M)=Wf-M=0.已知弯矩M、钢材强度f和截面抵抗矩w均服从正态分布，05.0,72.54==WWdm08.0,3800==ffdm07.0,130000==MMdm求钢梁的失效概率51024.7,8.3-×==fpb