15-4一维势阱和势垒

1§16-3一微无限深方势阱中的粒子一、一维无限深方形势阱二、薛定谔方程和波函数三、旧量子论的半经典解释2举几个小例1)说明量子力学解题的思路2)了解量子力学给出的一些重要的结论31.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量一、量子力学解题的一般思路4二、几种势函数)(xU1.自由粒子2.方势阱0)(xU0)(xU无限深方势阱能级结构问题方势阱0)(xU)(xU)(xU5方势阱0)(xU)(xU是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方势肼金属中的电子63.势垒)(xU梯形势散射问题)(xU势垒隧道贯穿)(xU)(xU74.其他形式超晶格谐振子8a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱（potentialwell）一、一维无限深方形势阱功函数分子束缚在箱子内三维方势肼9U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外101.势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外二、薛定谔方程和波函数)(xU0(x)ax阱外a0)(xUx00)(xU阱内)(ax0112.哈密顿量)(2ˆ222xUxmHdd3.定态薛定谔方程阱外：)()(211222xExxmdd)()(222222xExxmdd阱内：a0)(xUx012根据波函数有限的条件阱外0,0)(2xaxx1)阱外4.分区求通解)()(222222xExxmdd13)()(dd2222xExxm•令222mEk2)阱内0)()(2xkx为了方便将波函数脚标去掉将方程写成•通解kxBkxAxsincos)(式中A和B是待定常数145.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是0A0)0()0(02处xkxBxsin)(0sinkaB0)()(2aaax处(1)解的形式kxBkxAxsincos)(解的形式为(2)能量取值15)0(πknka),3,2,1(πnank0sinkaB0BA已经为零了B不能再为零了即),3,2,1(2π2222nnmaEn222nmEk＝222πan只能sinka等于零要求能量可能值161)每个可能的值叫能量本征值2)束缚态粒子能量取值分立(能级概念)能量量子化3)最低能量不为零波粒二象性的必然结果请用不确定关系说明4)当n趋于无穷时能量趋于连续5)通常表达式写为讨论,2,12π2222nnmLEnL--阱宽),3,2,1(2π2222nnmaEn17(3)本征函数系•由归一性质定常数B),3,2,1(πsin2)(nxanaxn1xxxad)()(*01sin022axkxBdaB2得•本征函数18考虑到振动因子tEine（驻波解）tnEinnex)(6.定态波函数),3,2,1(πsin2nexanatnEin197.概率密度**nP,2,1πsin22nxanaxananmaEnnπsin22π222220小结：本征能量和本征函数的可能取值nnnPEn32122212πmaExaaπsin21axaPπsin221124EExaaPxaaπ2sin2π2sin2222xaaPxaaπ3sin2π3sin2233xananmaEnnπsin22π2222,2,1πsin22nxanaPn139EE21一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度x4x3x2x1)(xo4E3E2E1Ea23x3n24x4n22x2n21x1naoa212a323a24a22n时，量子经典玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0232nan三、旧量子论的半经典解释粒子在阱外的波函数为零允许的波长为:ahnhPnn2粒子的动量...,3,2,1n粒子在势阱内动量为hp02阱内的波函数在阱壁上的值也必为零（驻波）量子化能量由波函数的连续性24能量量子化是粒子的波动性和边界条件的必然2πh222π4h22222πmanEn...,,,n321oa2a24aa21323a222282mahnmpEnn2nan...,3,2,1n允许的波长为:25§16-3一维势阱和势垒问题一、一维无限深方势阱对于一维无限深方势阱有Uxxaxxa()()(,)000∞0aU(x)∞势阱内U(x)=0，哈密顿算符为Hx222dd2定态薛定谔方程为dd2xE2220令kE2薛定谔方程的解为()sin()xAkx26根据，可以确定=0或m，m=1,2,3,。于是上式改写为()00()sinxAkx根据()00，得ka=n，n=1,2,3,…因为当n=0时，必定k=0，定态薛定谔方程应有dd2()xt20解得(x)Cx+D所以Eknann22222222123,,,,由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。基态的能量为Ea122220零点能27与能量本征值En相对应的本征函数n(x)为nxAnxa()sin()利用归一化条件naxx()201d，得Aa2/归一化波函数为nxanxan()sin,,,,21233n4n2n1n4E3E2E1Eax0x)()(xanxao2)()(xbn一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级28得到两相邻能级的能量差例题1设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两中情况下相邻能级的能量差。解：根据势阱中的能量公式可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。222222228hEnnmamaπ212(21)8nnhEEEnma29在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。当a=10-10m时在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。当a=1cm时3421526.04103.3710JeVEnn237.7eVEn(21)37.7eVEn30当n1时,能级的相对间隔近似为可见能级的相对间隔nE随着n的增加成反比地减小。nE要小的多。这时，能量的量子较之nnEE当时，n化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中时的极限情况。量子数n222222288nnhnEmahEnnma31例题2.试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对x求导一次，并令它等于零因为在阱内，即只有222()sin1,2,3,nnxxnaaπ220()4sincos0nxdxmnnxxdxaaaπππ0,sin0nxaxaπcos0nxaπ32于是由此解得最大值得位置为例如可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。(21)0,1,2,,12nxNNnaππ(21)2axNn最大值位置1,0nN12xa最大值位置2,0,1,nN13,44xaa最大值位置3,0,1,2,nN135,,.666xaaa33这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离axn如果阱宽a不变，当时n0x34二、势垒穿透和隧道效应有限高的势垒UxUxxxaUxUxa()(),(),(((0000P)S)Q),区区区xaoQSPE0UU在P区和S区薛定谔方程的形式为dd2()()xxkx220其中kE222在Q区粒子应满足下面的方程式dd2()()xxx2202202()UE式中35用分离变量法求解，得111ABkxkxeeii(P区)222ABxxee(Q区)33Akxei(S区)在P区，势垒反射系数R211AB在Q区，势垒透射系数213AAT)(1x)(2x)(3x0UPQSoa粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。隧道效应的应用：扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管36•经典•量子隧道效应37例1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面正交性的性质：0dnm即不同能级的波函数互相正交。xaxnaaxmaxxanmd)πsin2)(πsin2(d)()(0xaxnmaxnmaad]π)(cosπ)([cos10)()(cos)(cos)(nmnmvvnmuunm00d1d1解:波函数取其复共轭相乘并积分，得mm38把波函数的正交性和归一性表示在一起，mnnmδd其中当m=n时,mn=1当mn时,mn=0mn称为克罗内克符号。39§4势垒和隧道效应一、粒子进入势垒二、有限宽势垒和隧道效应三、隧道效应的应用40ψ2ψ1透射?反射入射1.势函数讨论入射能量EU0情况xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)一、粒子进入势垒U(x)=U00x0x0410)()(212122xxExxmddI区令222mEk00)()(212212xxkxxdd2.定态薛定谔方程xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)方程为420)()()(22202222xxExUxxmddII区00)()(22222xxxxdd00)()(2)(202222xxUEmxxdd02202UEm令433.薛定谔方程通解通解通解波动形式指数增加和衰减00)()(22222xxxxdd00)()(212212xxkxxddikxikxBeAex)(1xxDeCex)(244考虑物理上的要求当x时2(x)应有限所以D=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0xEUmxCeCex)(2120)(454.概率密度(x0区)xEUmex)(22220|)(|x0区(EU0)粒子出现的概率0U0x概率xEUmxCeCex)(2120)(xex222)(本征波函数概率密度46经典：电子不能进入EU的区域(因动能0)量子：电子可透入势垒若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面在金属表面形成一层电子气EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区047二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区xEUmeCx)(2120)(x=a)(220)(EUmaeCa)(220)(EUmaeCaΨ348隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区)(220)(EUmaeCaΨ3振幅为)(2a波穿过势垒后将以平面波的形式继续前进()3称为势垒穿透或隧道效应491.穿透系数)(22220)(EUmaeaT穿透系数会下降6个数量级以上eV50EU当TaTEU)(0势垒宽度a约50nm以上时此时量子概念过渡到经典50