17.复数列的极限、复数项级数

复数列的极限称为复数列,简称(1,2,3,)nnnaibn为数列,记为.n定义1设是数列，是常数.naib如果e0,存在正整数N,使得当nN时,不等式ne成立,则称当n时,收敛于n,或称是的极限,记作nlim,nn或.nn复数列收敛与实数列收敛的关系.lim,limbbaannnn定理1limnn的充分必要条件是该结论说明:判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.定理2设是收敛数列，则其有界,即n存在M0,使得(1,2,3,).nMn复数项级数nnn211为复数项级数.称nnkknS211为该级数的前n项部分和.设是复数列,则称nnnaib级数收敛与发散的概念定义2如果级数nnn211的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,nS这时称S为级数的和,并记做1.nnS如果不收敛，则称级数发散.nS复数项级数与实数项级数收敛的关系定理3级数收敛的充要11()nnnnnaib条件是都收敛,并且11,nnnnab111.nnnnnnaib说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题解因为级数2111nnnbn收敛,所以原复数项级数发散.练习级数是否收敛?111ninn111nnnan发散,而级数级数收敛的必要条件lim0.nn推论如果级数收敛,则1nn证明由定理3及实数项级数收敛的必要条件知,lim0,lim0nnnnablim0.nn重要结论:发散.1lim0nnnn于是在判别级数的敛散性时,可先考察lim0.nn?非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义3设是复数项级数,如果正项1nn级数收敛,则称级数绝对收敛.1nn1nn绝对收敛级数的性质定理4若级数绝对收敛,则它收敛,1nn并且11.nnnn1nn绝对收敛和都绝对收敛.1nna1nnb都收敛,故原级数收敛.但是级数条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的.解因为例级数是否绝对收敛?1(1)12nnnin11(1)1,2nnnnn1(1)nnn定理5设和都是绝对收敛级数,1nn1nn令1211(1,2,3,),nnnnn则级数绝对收敛,并且1nn111.nnnnnn