直线与圆锥曲线经典例题及练习

直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由1122nymxxy得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴nmnnmn2)1(2+1=0,∴m+n=2①又2)210()(4nmmnnm2,将m+n=2,代入得m·n=43②由①、②式得m=21,n=23或m=23,n=21故椭圆方程为22x+23y2=1或23x2+21y2=1.【例2】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组xymxy42,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=4)1(2m.点A到直线l的距离为d=25m.∴S△=2(5+m)m1,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(35522mmm)3=128.∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.【例3】已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜23,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜23时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞23时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k不存在时，l与C只有一个交点；当2＜k＜23,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；当k＞23时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB=2121xxyy=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.【例4】如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=22ca=3.故椭圆方程为92522yx=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=59.因为椭圆右准线方程为x=425,离心率为54，根oyxCAB'BF1F2据椭圆定义，有|F2A|=54(425－x1),|F2C|=54(425－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得54(425－x1)+54(425－x2)=2×59,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=221xx=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得25925925925922222121yxyx①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9×)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0(x1≠x2)将kxxyyyyyxxx1,2,422121021021(k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－k1)=0(k≠0)即k=3625y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－925y0=－916y0.由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－59＜y0＜59,所以－516＜m＜516.解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为y－y0=－k1(x－4)(k≠0)③将③代入椭圆方程92522yx=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0所以x1+x2=259)4(5020kk=8,解得k=3625y0.(当k=0时也成立)(以下同解法一).【例5】已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xyx相切．过点4,0P作斜率为14的直线l，使得l和G交于,AB两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足2PAPBPC．①②（1）求双曲线G的渐近线的方程；（2）求双曲线G的方程；（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆2210200xyx相切可得：2551kk．所以，12k．双曲线G的渐近线的方程为：12yx．（2）由（1）可设双曲线G的方程为：224xym．把直线l的方程144yx代入双曲线方程，整理得2381640xxm．则8164,33ABABmxxxx（＊）∵2PAPBPC，,,,PABC共线且P在线段AB上，∴2PABPPCxxxxxx，即：4416BAxx，整理得：4320ABABxxxx将（＊）代入上式可解得：28m．所以，双曲线的方程为221287xy．（3）由题可设椭圆S的方程为：22212728xyaa．下面我们来求出S中垂直于l的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为1122,,,MxyNxy，MN的中点为00,Pxy，则2211222222128128xyaxya．两式作差得：121212122028xxxxyyyya由于12124yyxx，1201202,2xxxyyy所以，0024028xya，所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线24028xya截在椭圆S内的部分．又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，211122a．所以，256a，椭圆S的方程为：2212856xy．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．【例6】设抛物线过定点1,0A，且以直线1x为准线．（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）若直线l与轨迹C交于不同的两点,MN，且线段MN恰被直线12x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围．解：（1）设抛物线的顶点为,Gxy，则其焦点为21,Fxy．由抛物线的定义可知：12AFAx点到直线的距离＝．所以，2242xy．所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：2214yx1x．（2）因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定．所以，要求m的取值范围，还应该从直线l与轨迹C相交入手．显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为1:lyxbk，代入椭圆方程得：222241240kbxxbkk由于l与轨迹C交于不同的两点,MN，所以，22222441440bkbkk，即：2224100kkbk．（＊）又线段MN恰被直线12x平分，所以，2212241MNbkxxk．所以，2412kbk．代入（＊）可解得：33022kk．下面，只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围．由于ykxm为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点01,2Py．在1:lyxbk中，令12x，可解得：2011412222kybkkkk．将点1,22Pk代入ykxm，可得：32km．所以，3333044mm且．从以上解题过程来看，求m的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN的中点为01,2Py，则由点,MN为椭圆上的点，可知：22224444MMNNxyxy．两式相减得：40MNMNMNMNxxxxyyyy又由于01121,2,2MNMNMNMNyyxxyyyxxk＝，代入上式得：02yk．又点01,2Py在弦MN的垂直平分线上，所以，012ykm．所以，001324myky．由点01,2Py在线段BB’上（B’、B为直线12x与椭圆的交点，如图），所以，'0BByyy．也即：033y．所以，3333044mm且点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．从构造不等式的角度